第07章 随机有限元法.pptx

第七章

随机有限元法;目 录;7.1概述;根据对结构进行随机分析的方法与手段不同，随机有限元法可分为两类：一类是统计的方法，就是通过大量的随机抽样，对结构反复进行有限元计算，将得到的结果作统计分析，得到该结构的失效概率或可靠度，这种方法称为蒙特卡罗(MonteCarlo)随机有限元法。MonteCarlo随机有限元法需要进行大量的模拟计算，工作量很大。;另一类是分析的方法，就是以数学、力学分析作为工具，找出结构系统（确定的或随机的）的响应与输入信号（确定的或随机的）之间的关系，并据此得到结构内力、应力或位移的统计规律，得到结构的失效概率或可靠度。;按照随机分析的目的与结果不同，可分为两种。一种是分析结构响应的统计特性及其分布规律，如摄动随机有限元法

（PSFEM）、纽曼（Neumann）随机有限元法等；另一种是直接分析结构的可靠度或失效概率，如验算点展开随机有限元法等。;7.2摄动随机有限元法

设有限元位移法的支配方程为：

(7-1)

式中为K劲度矩阵，δ为结点位移向量，F为结点荷载向量。若材料特性、所受荷载或几何现状有一微小扰动，则结点位移对此将产生扰动响应。;设结构的某一参数Z为随机摄动量，则摄动量Z可以表示为确定部分和随机部分之和，即：;采用摄动随机有限元法分析结构的可靠度，可以在均值点进行泰勒级数展开，并取至二次项，得到：

(7-3)

(7-4)

(7-5);式中K0、F0、δ0分别为K、F、δ在各随机变量均值点的值，为随机变量Xi在均值点mXi处的微小摄动量。

将式(7-3)、(7-4)、(7-5)代入支配方程

(7-1),根据二阶摄动法得到如下方程：

(7-6)

(7-7);(7-8)

若取式(7-5)的线性项分析，可得结点位移一阶近似的均值和协方差为：

(7-9);(7-10);(7-12);摄动随机有限元法是通过随机变量在

其均值附近产生的随机扰动，得到结构位

移响应的均值和协方差。因此概念明确，方法清楚。又因为是用泰勒级数将随机函数展开，故可根据对问题的精度要求取舍非线性项，所以该方法应用较广。;应用摄动随机有限元法分析工程实际问题，由式(7-6)求得确定性位移δ0以后，再求解式(7-7)中的n阶线性方程组和式(7-8)中的n2阶的线性方程组，得??结点位移对各随机变量的一阶、二阶偏导数，然后代入式(7-11)和式(7-12)求得位移的均值和方差。;注意到各线性方程组中的系数矩阵Ｋ０均相同，因此求解上述递归方差组的计算工作量并不是很大。显然，采用一阶近似的方法计算响应的均值和协方差比较简单，计算效率也高，但要求摄动量是微小的（一般不超过均值的20%或30%），否则，得到的结果误差较大。;二阶近似得到的结果精度较高，对摄动量的要求亦可适当放宽，特别是对于非线性问题，能够得到较好的结果，但是二阶近似算法的公式复杂，对于随机变量较多的情况，计算效率较低，使这一算法的实际应用受到影响。;7.3纽曼（Neumann）随机有限元法

Neumann随机有限元法是将Neumann级数展开式与随机有限元相结合而形成的一种方法。Neumann级数展开式的形式如下：

(7-13)

式中I为恒同算子，T为 的线性算子。;对于有限元支配方程Kδ=F ，不妨设荷载F为确定性量。设劲度矩阵K可表示为 ，则 ，将其展开为Neumann级数得：;由于F为确定性量，所以有;令;Neumann级数展开式与MonteCarlo法结合，求解结构由于材料特性参数随机场扰动而产生的随机响应问题，应首先将随机场离散为一组随机向量，然后用MonteCarlo法得到该随机向量的抽样值，再由Neumann随机有限元的递推公式得到结构的响应量及其统计特性。;Neumann随机有限元法由于采用了MonteCarlo模拟技术，因此不受随机变量变异性的限制；又因为Neumann级数展开式可取至二阶以上的高阶项，所以计算精度可得到满足。;7.4验算点展开随机有限元法

摄动随机有限元法和Neumann随机有限元法主要是分析结构响应的统计特性，据此了解在荷载、材料参数以及几何尺寸等随机变量的作用下，结构所处的工作状态，判断结构的安全性或可靠性。;在工程实际中，为了与工程设计的要求相对应、与工程结构的可靠性评价相结合，人们希望通过对结构的随机有限元分析而直接得到结构的安全度或可靠度水平。DerKiureghianArmen和KeJyh-Bin于1985年首次将结构可靠度分析的梯度优化法与有限元法相结合，得出了平面刚架构件的可靠度。我国的一些学者将这一方法推广到二维、三维块体结构，并进一步研究了动力可靠度问题和考虑随机场、材料非线性性质的随机有限元计算问题。;设已知结构可靠度分析中的一组基本随;于是结构功能函数g(X)可改写为g(