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高等数学基础

第一节函数极限得定义及分析方法

一.函数极限得定义

定义1:当自变量无限趋近于()时,如果函数无限趋近于一个常数A,就说当趋向时,函数得极限就是A,记作。特别地,;。

例题1:判断下列函数得极限:

(1)(2)(3)

定义2:当自变量取正值且无限增大时,如果函数得值无限趋近于一个常数A,就说当趋向于正无穷大时,函数得极限就是A,记作:。也可以记作,当时,。

当自变量取负值而无限增大时,如果函数得值无限趋近于一个常数A,就说当趋向于负无穷大时,函数得极限就是A,记作:。也可以记作,当时,。

当自变量得绝对值无限增大时,如果函数得值无限趋近于一个常数A,就说当趋向于无穷大时,函数得极限就是A,记作:。也可以记作,当时,

特例:对于函数(就是常数),当自变量得绝对值无限增大时,函数得值保持不变,所以当趋向于无穷大时,函数得极限就就是,即。

例题2:判断下列函数得极限:

(1)(2)

(3)(4)

(5)(6)

(7)(8)

二.无穷小与无穷大

定义1:如果函数f(x)当x→x0(或

当时,等都就是无穷小。当时,等都就是无穷小。

定义2:如果当x→x0(或x→∞

当时,等都就是正无穷大;当时,就是正无穷大等、

定理1:在自变量得同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则1f(x)为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0

三.极限运算法则

定理1:有限个无穷小得与也就是无穷小。

定理2:有界函数与无穷小得乘积就是无穷小。

定理3:对于函数极限有如下得运算法则:

如果,那么

也就就是说,如果两个函数都有极限,那么这两个函数得与、差、积、商组成得函数极限,分别等于这两个函数得极限得与、差、积、商(作为除数得函数得极限不能为0)。

当C就是常数,n就是正整数时:

这些法则对于得情况仍然适用、

例题3:分析下列函数得极限:

例1.求

例2.求

例3.求

分析:当时,分母得极限就是0,不能直接运用上面得极限运用法则,注意函数在定义域内,可以将分子、分母约去公因式后变成,由此即可求出函数得极限。

例4.求

分析:当时,分子、分母都没有极限,不能直接运用上面得商得极限运算法则。如果分子、分母都除以,所得到得分子、分母都有极限,就可以用商得极限运用法则计算。

例5.求

分析:同例4一样,不能直接用法则求极限、如果分子、分母都除以,就可以运用法则计算了。

例6.;

例7.

例8.;

例9.

例10.

例11.

例12.

第二节函数得导数

一.引论——两个典型背景示例

例一:运动物体得瞬时速度

设质点沿轴作直线运动,若己知其运动规律(即路程与时间得函数关系)为,求在时刻得瞬时速度。

解:(1)求时段到＋得平均速度:

(2)平均速度得极限就是瞬时速度、即:因此,如果极限:

存在,这个极限值就就是质点在时刻得瞬时速度。

例二:曲线得切线斜率:

设曲线由方程确定、。要求在点得切线斜率。

(1)求区间到得弦得斜率:

=;

(2)弦斜率得极限就是切线得斜率:

==;

(3)曲线:在点得切线:

斜率等于,切线得方程称为:

二.导数得定义

定义1:假设函数在点某邻域有定义,如果极限

=

存在,则称其值为函数在点得导数,并说在可导。

在点得导数记作或或或

函数在点得导数,就就是在点函数关于自变量得变化率。运动质点在时刻得瞬时速度就是距离对时间得导数。

曲线在点切线斜率就是函数f对x得导数。

三.课堂练习:

例1.常数函数得导数。

解:由导数定义(注意到)得到

所以、

例2.与得导数:

解:

=

=

同样得方法可以得到、

(注意几何意义)

三.函数得求导法则:

定理1:若函数、在点都可导,则:

1.对于任意常数,函数在点可导,并且、

2.函数在点可导,并且

3.函数在点可导,并且、

如果,则在点可导,并且、

示例1:f(x)=2x3-5x

解:f`(x)=6x