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12.1.3平方根与立方根
教学目标
知识与技能:
1.使学生了解一个数的立方根概念,并会用根号表示一个数的立方根;
2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并能区分立方根与平方根的异同.
3.能用有理数估计一个开方开不尽数的大致范围,使学生形成估算的意识,培养学生的估算能力;
4.经历运用计算器探究数学规律的过程,发展合情推理能力.
过程与方法:
用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自我总结出平方根与立方根的异同.
情感、态度与价值观:
1.体验知识的形成过程及类比的数学思想在学习中的应用.
2.发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.
3.鼓励学生大胆质疑,发展合情推理能力.
学情分析
教学重点、难点
重点:立方根的概念及求法.
难点:立方根与平方根的区别.
教法与学法导航
教学方法:问题探究
学习方法:自主学习——合作交流——探究提高
教学准备
教师的准备:课件、投影
学生的准备:圆球、正方体、计算器
教学过程
一、创设问题情境,引入新课
教师节即将来临,刘老师收到了所任教的两个班的数学课代表送来的小礼品,他打开纸盒一看,发现里面装的是两个不同形状的水晶一样的透明饰物,其形状为一个是圆球形,另一个是正方体.经过测算,其体积为216.同学们,你能求出圆球形饰物的半径和正方体饰物的边长吗(取3)?要求出这两个量,就需要我们来学习开方中的另一种运算:开立方运算.
二、师生共同参与教学活动
(一)提出问题,引发讨论
在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.
=;=;=;=;
=;=;=.
(1)经计算发现正数、0、负数的立方值与平方值有何不同之处?
=8;=-8;=;=-;
=27;=-27;=0.
我们发现,求立方运算时,当底数互为相反数时,其立方值也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数,但其平方值相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却只有一个值.
类似平方根定义可知,若,则为的立方根,记为,读作三次根号.
自主探究1:负数没有平方根,负数有无立方根呢?
从=-8,=-,=-27,可知负数有立方根,并且其立方根仍为负数.
(2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,故请根据上述等式,写出这些互为相反数的立方根.
8的立方根为2,-8的立方根为-2,记为=2,=-2
的立方根为,-的立方根为-,记为=,=-
27的立方根为3,-27的立方根为-3,记为=3,=-3
0的立方根为0,记为=0
上述过程都是求一个数的立方根的运算,把求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.
(二)导入知识,解释疑难
1.例题讲解
既然正数的立方是正数,负数的立方是负数,那么正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,同样0的立方是0,则0的立方根是0,可记为=(为任意数),或者若=,则有=,其中为被开方数,3为根指数,且根指数为3时,不能省略,只有当根指数为2时,才能省略不写.
自主探究2:(1)=-2,-=-2,由此得出;又=-3,-=-3,由此得出.于是可归纳出其规律:=.
(2)对比分析:当≥0时,式子,,,的意义各是什么?
提示:≥0,表示的算术平方根,表示的负平方根,表示的平方根.
例1:求下列各数的立方根:
①;②-125;③-;
解:①∵,∴;
②∵,∴=;
③∵,∴.
随堂小练习:
(1)课本第7页练习第1题.
(2)解决引例中的“求正方体棱长”的问题.
解:因正方体的体积为216,故其边长为=6().
例2、利用计算器来求一个数的立方根,讲解课本第6页的例5.
(学生利用计算器的说明书独立学习.对于一些暂时还没有学会的学生,可以采用同学之间互帮互学的方式解决.)
随堂小练习:
(1)、求下列各数的立方根(结果保留三个有效数字)
①-5②81-
解析:①对-5这个数,可先作如下尝试:13=1,23=8,53=,=.发现最接近5,故不能口算出其值,得借助计算器求值,且通过计算器检验知是一个无限不循环小数,用计算器计算知=-≈-,-是一个近似数.
②81-=81-6=75;≈;
(2)、比较-4、-5
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