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解析几何七种常规题型及方法

常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

一、一般弦长计算问题：

例1、已知椭圆C:x2?y2

?1?a?b?0?，直线l:x?y?1被椭圆C截得的弦长为2 2，且e? 6，

a2 b2

1 a b 3

过椭圆C的右焦点且斜率为 3的直线l

2

被椭圆C截的弦长AB，

⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l

2

的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.

解析：⑴由l

1

被椭圆C截得的弦长为2 2，得a2?b2?8，………①

6 c2 2

又e? ，即

3 a2

? ，所以a2?3b2 ②

3

联立①②得a2

?6,b2

?2，所以所求的椭圆的方程为x2?y2

6 2

?1.

⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l

2

的方程为：y? 3?x?2?，

代入椭圆C的方程，化简得，5x2?18x?6?0

由韦达定理知，x?x ?18,xx ?6

1 2 5 12 5

从而x?x ?

?x?x

?2?4xx

?2 6，

1 2 1 2

12 5

? ?2

2 6 4 6

由弦长公式，得AB? 1?k2

即弦AB的长度为4 6

5

?x

1 2

? 1?

3 ? ? ，

5 5

点评：本题抓住l

1

的特点简便地得出方程①，再根据e得方程②，从而求得待定系数a2,b2，得出椭圆

的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题：

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x

1

然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

,y)，(x

1 2

,y)，代入方程，

2

2典型例题 给定双曲线x2?y

2

2

的中点P的轨迹方程。

?1。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P

1

及P，求线段PP

2 1 2

y2 y2

分析：设P(x,y

1 1 1

两式相减得

)，P

2

(x,y

2 2

)代入方程得x2? 1

1 2

?1，x2?

2

2?1。

2

(x ?x

1 2

)(x

1

?x)?

2

(y2 1

y)(y

2 1

?y)?0。

2

又设中点P（x,y），将x ?x

1 2

?2x，y ?y

1 2

?2y代入，当x

1

?x时得

2

2x?

2y y ?y

1 2

?0。

2 x ?x

1 2

又k?

?y

12x ?x

1

2

1 2

?y?1，x?2

代入得2x2?y2?4x?y?0。

当弦PP斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。

1 2

因此所求轨迹方程是2x2?y2?4x?y?0

说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

例2、过点P?4,1?作抛物线y2?8x的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率k，有P是弦的中点，

所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.

解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为A?x,y?,B?x,y?，

1 1 2 2

则有y2?8x,y2?8x，两式相减，得?y?y??y?y??8?x?x?

1

又x?x

1 2

y

1 2 2

?8,y?y ?2

1 2

y

1 2 1 2 1 2

? ?

则k? 2

x

2

1?4，所以所求直线AB的方程为y?1?4

?x

?

1

x?4

，即4x?y?15?0.

解法2：设AB所在的直线方程为y?k?x?4??1

??y?k?x?4??1

由?

??y2?8x

，整理得ky2?8y?32k?8?0.

设A?x,y?,B?x,y

?，由韦达定理得y?y ?8，

1 1 2 2

1 2 k

又∵P是AB的中点，∴

y?y

1 2

?1，∴8?2?k?4

2 k

所以所求直线AB的方程为4x