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一、单项选择题
两个矢量的矢量积(叉乘)满足以下运算规律( B )
A.交换律 A?B??B?A B.分配率 A?(B?C)?A?B?A?C
C.结合率
D.
以上均不满足
2.下面不是矢量的是(
C
)
A.标量的梯度
B.矢量的旋度
C.矢量的散度
D.两个矢量的叉乘
下面表述正确的为( B )
矢量场的散度结果为一矢量场B.标量场的梯度结果为一矢量(具有方向性,最值方向)
C.矢量场的旋度结果为一标量场 D.标量场的梯度结果为一标量
矢量场的散度在直角坐标下的表示形式为( D )
?A ?A ?A ?A ?A ?A
? ?
xe?
ye? ze
?x ?y ?z ?x x ?y
?A ?A ?A ?A ?A
y ?z z
?A
x y z?xe??ye??ze
x y z
x? y? z
? ? ?
? ? ?
散度定理的表达式为( A )体积分化为面积分
A. ??A?ds??????AdV B.??A?ds??????A?dV
??
?? ??? ?? ???
C. A?ds? ??A?dV D. A?ds? ??A?dV
s V s V
斯托克斯定理的表达式为( B )面积分化为线积分
?
L
A?dl???(??A)?ds B.
? A?dl???(??A)?ds
L
C. ?
L
A?dl?
?s?
s
(??A)?ds D.
? A?dl?
L
?s?
s
(??A)?ds
(??A)?下列表达式成立的是(
(??A)?
A. ??Ads????(??A)?dV; B.?(?u)?0;
0 ,??(?u)?0
s V
(??
(??A)?
0; D.??(?
u)?
u)?0
(注:只知道散度或旋度,是不能全面反映场的性质的)
研究一个矢量场,必须研究它的散度和旋度,才能确定该矢量场的性质。
研究一个矢量场,只要研究它的散度就可确定该矢量场的性质。
研究一个矢量场,只要研究它的旋度就可确定该矢量场的性质。
研究一个矢量场,只要研究它的梯度就可确定该矢量场的性质。
二、判断题(正确的在括号中打“√”,错误的打“×”。)
描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数,在时间为一定值的情况下,它们是唯一
的。( √ )
矢量场在闭合路径上的环流和在闭合面上的通量都是标量。( √ )
空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。( √ )
标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。( √ )
矢量场在闭合路径上的环流是标量,矢量场在闭合面上的通量是矢量。( × )标量
梯度的方向是等值面的切线方向。( × ) 法线方向
三、计算题
某二维标量函数u?y2?2x,求(1)标量函数梯度?u;(2)求梯度在正x方向的投影。解:(1)标量函数的梯度是
?u??ue
?x x
?ue
?y y
??2e
x
2ye
y
(2)梯度在正x方向的投影
?u?e
x
?(?2e
x
2ye
y
)?e
x
??2
已知某二维标量场u(x,y)?x2?y2,求(1)标量函数的梯度;(2)求出通过点(1,1)处
梯度的大小。
解:(1)标量函数的梯度是
?u??ue
?x x
?ue
?y y
?2xe
x
2ye
y
(2)任意点处的梯度大小为
x2?y2?u
x2?y2
在点?1,1?处梯度的大小为:
2?u?2
2
已知矢量A?e
x
x?e
y
xyz?e
z
xy2z,(1)求出其散度;(2)求出其旋度
解:(1)矢量的散度是
xy??A??A ??A
x
y
?
?A
?z
?
?1?xz?xy2
x ?y ?z
(2)矢量的旋度是
??x
?
?xx
e
x
y z
??A?
? ? ?e
(2xyz?xy)?e
(?y2z)?eyz
?yxyz
?z x y z
xy2z
矢量函数A??x2e
x
ye
y
xe
z
,试求(1)??A;(2)若在xy平面上有一边长为2的
正方形,且正方形的中心在坐标原点,试求该矢量A穿过此正方形的通量。
xAy解:(1)??A??A ??
x
A
y
?
?A
?z
?
??2x?1
x ?y ?z
(2)矢量A穿过此正方形的通量
?A
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