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12.1.2平方根与立方根
教学目标
知识与技能:
1、使学生进一步理解平方根的概念,并能熟练地进行求一个数的平方根的运算.
2、会用计算器求一个非负数的算术平方根.
3、能运用算术平方根解决一些简单的实际问题.
过程与方法:
通过探究用有理数估计一个开方开不尽数的大致范围,使学生形成估算的意识,培养学生的估算能力.
情感、态度与价值观:
1.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研意识.
2.鼓励学生大胆质疑,发展合情推理能力.
学情分析
教学重点、难点
重点:用有理数估计一个无理数的大致范围
难点:运用计算器探求数学规律
教法与学法导航
教学方法:本节课主要让学生利用计算器求一些数的平方根,并在基础上探究被开方数小数数位左移(或右移)一定数位后,其算术平方根变化规律,宜采用探究式、启发式教学法.
学习方法:观察、比较、合作、交流、探索.
教学准备
教师的准备:课件、投影,长方形纸板
学生的准备:计算器,剪刀,长方形纸板
教学过程
一、创设情境,感受数学
某同学用一张正方形纸片折小船,但他手头上没有现成的正方形纸片,于是他撕下一张作业本上的纸,按照如图,沿AE对折使点B落在点F的位置上,再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.
将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,正方形纸片的面积为90—40=50cm2,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们知道72=49,82=64,50这个数既不是72,也不是82,由于49<50<64,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底是为多少呢?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题.
二、师生共同参与教学活动
(一)提出问题,引发讨论
在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?
我们知道,若有正数x,使x2=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=,于是若x2=50时(x为正数),则x=,而72<50<82,因此有7<<8,现在我们就来学习如何求的近似值?
(二)导入知识,解释疑难
1.教材内容讲解
在七年级有理数的乘方运算中,我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法,现在我们要确定一个数的平方根,也可借助这种方法进行,我们不妨用计算器验证,=,而50,故<,再验证=50,故7<<,而=,=,故<<,接着继续增加小数点后一位小数,如,计算=,而=,故<<,……如此继续进行下去,可以发现将小数点后的小数位继续增加下去,一直不能穷尽,都只能使……的平方值无限接近,因此发现,不可能化为我们以前学过的无限循环小数,只能化为无限不循环小数,这样我们就可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢?
只要计算器上有“”键或者“”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器的按键顺序不相同,只要按计算器的使用方法去按键,就可求出任意正数的算术平方根了.
例1用计算器求下列各数的算术平方根.
(1)529(2)1225(3)
师:选用的计算器不同,按键的顺序也不相同,例如求100的算术平方根,有的计算器是按、1、0、0、=,有的计算器是按1、0、0、、=.因此,应该仔细阅读计算器说明书,按照要求操作.遇到开方开不尽的数,比如的值在计算器上显示,可以看出计算器上显示的数都是位数有限的,需要我们根据题目要求取近似值.因此通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值,运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.
学生分组探究,教师指导学生自主完成.
2、自主探究,体验数学
问题:(1)求下列各数的算术平方根.
,,,1,100,10000,1000000
(2)利用计算器计算下列各式的值:
…
你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来.
(3)利用你的发现,说出、、的近似值(已知≈),你能根据的值确定的值吗?
解:(1)∵=∴=,依次可得出=,=,=1,=10,=100,=1000
分析:从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有=10,(或者:被开方数每
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