材料力学截面的几何性质课件.pptVIP

GeometricalPropertiesofAnArea

截面几何性质拉伸：扭转：截面几何性质：与截面形状和尺寸有关的几何量。

本次课主要内容zn静矩和形心n惯性矩和惯性半径n惯性积n平行移轴公式n转轴公式主惯性轴yo

§I.1静矩和形心z1.静矩(一次矩)yCzA2.形心yo

结论：1、S=0?z轴是形心轴z2、对称轴必定是形心轴z-yyCzzyo

z静矩yA1AnzA2(y,z)3.组合截面的静矩和形心ii…yo

y试求图示曲线【例题1】xcABdAhCxoxdx下的面积OAB对于y轴的静矩S和形心位置xbcy解：

面积形心xc矩形Chbxc三角形ChbxcChCh二次抛物线三次抛物线bxcbxcCh二次抛物线b

负面积法yoxc2bC2hC1Cxxc1xc

§I.2惯性矩和惯性半径z1.惯性矩（二次轴矩）yzA惯性矩恒为正值y2.惯性半径o

3.极惯性矩（二次极矩）zy?zyo截面对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

【例题2】试计算图示矩形对其对称轴的惯性矩。z解：dzzyChb

【例题3】试计算图示圆形对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。zd?解：?yCD

4.组合截面的惯性矩和极惯性矩zyA1AnzA2…yo

【例题4】试计算图示圆环对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。zyCd能否用同样的办法计算抗扭截面系数？D

§I.3惯性积zyzAyo惯性积可正、可负、可为零

z-yyzzyo坐标系的两个坐标轴中只要有一个是截面的对称轴，则截面对该坐标系的惯性积等于零。

§I.４平行移轴公式zzc已知：b(a和b是截面的形心yc在oyz坐标系中的坐标C)aoy求：

I~IzzcyycyycbzcaycCzoy其中：

zzc平行移轴公式：yycbzcycCzaoy在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。

【例题5】zc已知：求：Cycyh解：b

§I.5转轴公式主惯性轴z1.定点转轴公式z1y已知：求：y1z1y1zoy

zI~I,I,Iz1y1yzyzyy1z1y1zoy

zz1yy1z1y1转轴公式zoy

zz12.主惯性轴（主轴）yy1z1y1定义：若截面对某对坐标轴的惯性积等于零，则这对坐标轴称为主惯性轴，简称为主轴。zoy即：若令：，则y,z是主轴。00可确定一对主轴y,z的方位得：00

讨论：主轴方向的惯性矩令：得：可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。

3.主惯性矩定义：截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。由：得：将上式代入得主惯性矩的计算公式：

主惯性矩的计算公式：zz1显然：yy1z1y1zoy

4.主形心轴和主形心惯性矩定义：(1)通过形心的主轴称为主形心轴。(2)对主形心轴的惯性矩称为主形心惯性矩。(3)由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称为主形心惯性平面。显然：对称轴必定是主形心轴。

zvz1【例题】5试证明下列定理：如果通过截面的任一指定点有多于一对的主轴，那么通过该点的所有轴都是主轴。y1uyo证明：设通过截面O点的y、z轴为主轴，u、v为另一对主轴，其中?不是?/2的整数倍，由转轴公式：o而：从而：

zvz1y1故过Ｏ点的任何一对正交轴都是主轴，定理得证。uyo推论：若通过截面某点有三根（或三根以上）的对称轴，则通过该点的所有轴都是主轴。正多边形有无数对主形心轴。ccccc

z1cm【例题6】求图示截面的主形心惯性矩。12cm解：1、建立参考坐标系，确定整个截面的形心位置y1cmo8cm

计算形心坐标：z1cmc1（y，z）cccc21cmoy8cm

zzc1cmyc建立形心坐标系，计算形心坐标系中各部分形心坐标：c1a12cm1ycb1ca=-1.471b2zca2b1=2.03a2=2.53b2=-3.47c2y1cmo8cm

zzc2、计算对形心轴惯性矩和惯性积1cma1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.47c1a12cm1ycb1cb2c2a2y1cmo8cm

zzc1cm12cmyccy1cmo8cm

zzozc1cmI=279cm443、计算主形心轴和主形心惯性矩ycI=100cmzcI=-97cm4yczcyoyc12cmcy1cmo8cm

Iyc=279cmIzc=100cm44Iyczc=-97cm4zozzcyoyccyo

小结求主形心惯矩步骤zz0zc1、建立参考坐标系，确定整个截面的形Iyc=279cm4心位置y和zcIzc=100