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个性化教学辅导八下数学

矩形、菱形、正方形

【知识梳理】

矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等.

矩形的判定：（1）有一个角是90°的平行四边形；（2）三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形.

菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形；（2）四边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.

正方形的性质：正方形具有矩形和菱形的性质.

正方形的判定：（1）一组邻边相等的矩形；（2）有一个角是直角的菱形.

【例题精讲】

例题1.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.

DA

D

A

F

B E C

例题2.如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．

证明：CF=BE；

若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．

例题3.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

试找出一个与△AED全等的三角形，并证明.

若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

例题4.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC?90?．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60?得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180?得到△ABF．连接AD．

求证：四边形AFCD是菱形；

连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？

AG

A

G

E

F B C

例题5.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A?C?D?．

证明△A?AD?≌△CC?B；

若?ACB?30°，试问当点C?在线段AC上的什么位置时，四边形ABC?D?是菱形，并请说明理由．

DA?

D

A?

C

A

C?

B

例题6.如图：平行四边形ABCD的对角线

AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s

的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s

的速度运动.

若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF

是平行四边形；

在（1）的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形；

②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？

AF

A

F

E

O

B C

例题7.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

求证：EG=CG；

将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） D

AFGE

A

F

G

E

GFA

G

F

E E

B F C

B C B C

【巩固练习】

如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）

331

3

3

2a B．2 a C．a D． a

在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（ ）

A．20 B．15 C．10 D．5 D

如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，

垂足为E，cosA?

A C

，则下列结论①DE=3cm；

E B

②EB=1cm；③S

菱形ABCD

?15cm2中正确的个数为

A′

A′

（ ）A．3个B．2个 C．1个 D．0个

如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使

AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）

4

B．

3

C． D．2

A G B

3 2

6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB

F和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC的度数. DA

F

E P

C

B

【当堂检测】一、选择题

如图，