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灾情巡视路线的数学模型

摘要

本文解决的是灾情巡视路线的设计问题。由于路线图可看成网络图因此此问题可转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点Ｏ出发行遍所有顶点至少一次再回到点Ｏ使得总权（路程或时间）最小的问题。然后针对具体问题，采用一些启发式算法，建立模型进行求解。

对于问题一：基于设计分三组巡视时使总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线的要求我们采用Dijkstra算法，通过对初始圈进行二边逐次修正,处理三组的巡视路线长度，用lingo软件求解出较优方案。定义分组的均衡度系数a检验分组均衡度，在均衡度为a=0.0751时得到分三组（路）巡视时，总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线见附表1。

对于问题二：将问题转化为图论问题，运用问题一的求解方法，得到分为四组的路线，在通过均衡度分析之后得出近似最优巡视路线。利用lingo软件求得，至少要分四组，且四组的近似最优巡视路线见附表2。

对于问题三：基于问题一二中图论的方法，考虑到从Ｏ点巡视H点的最短时间是所有巡视线路中用时最长的，将计算出的最长路线巡视所用的时间作为巡视路线的最短时间限定，在此限定下对路线进行设计。求得的最短时间为6.43小时，最佳巡视路线分为23组。（具体分组见附录二）

对于问题四：由于组数一定，T，t和V改变，对每组内的最佳巡视路线是没有影响的，但可能会影响到各组件的均衡性，因此问题实质是讨论T，t和V对分组的影响，即在不破坏原来分组均衡的条件下T，t和V允许的最大变化范围。

关键词：启发式算法Dijkstra算法均衡度图论二边逐次修正

1.问题重述

1.1问题背景

今年夏天某县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。附录一中给出了该县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。

1.2本文需解决的问题

问题一：若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

问题二：假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

问题三：在上述关于T,t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

问题四：若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

2.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

假设1：公路不考虑等级差别，不受灾情和交通情况的影响。

假设2：各条公路段上的汽车行驶速度均匀。

假设3：各巡视组巡视的乡（镇）、村不受行政区划分的影响。

假设4：各巡视组行动统一，一个巡视组不可再分成若干小组。

假设5：巡视当中在每个乡（镇）村的停留时间一定，不会出现特殊情况而延误时间。

2.2符号说明

符号

符号说明

巡视小组在乡（镇）巡视的停留时间

巡视小组在村巡视的停留时间

汽车行驶速度

为导出子图中的最佳Ｈ圈。（其中=1，2，3，…，n.）

为的权，（其中=1，2，3，…，n.）

最大允许均衡度

分组后的实际均衡度

第个点距起始点的路线长度

点的时间权重

分组数

第组巡视时要停留的乡（镇）数

第组巡视时要停留的村数

最短时间下限

第巡视路线的长度

第巡视所用的时间

3.问题分析

此题研究的是某县灾情巡视路线的设计问题。问题要求设计出最佳的巡视路线，即：保证总路程最短或时间最小而且各组尽可能均衡的巡视路线。基于图论相关理论，借助于几何直观和生活体验的启发作用，便于为计算机有哪些信誉好的足球投注网站制定行之有效的操作规则，接着利用图论软件包通过计算机求解出较精确的路线。再通过线路均衡性比较，对均衡性不好的线路进行微调。以此方法确定最佳巡视路线。

针对问题一：基于对问题的分析，借助图论知识，将所给公路网就转化为图论中的加权网络图，因此问题就转化为一个图论问题，即在给定的加权网络图中，寻找从给定点Ｏ出发，行遍所有顶点至少一次再回到Ｏ点，使得总权（路程或时间）最小。此即多个推销员的最佳推销员回路问题。基于以上分析，运用图论知识和图论软件包进行求解，再利用均衡度分析对得到的分组路线进行微调，均衡度越小表示路线越均衡，微调后即可得到相对较优的分组路线。可认为这样设计的分组方法和巡回路线能使总路线近似最短。

针对问题二：在问题一的基础上添加了巡视组在各乡镇停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时等条件，要求在24小时内完成巡视的最少分组数以及相应的最佳巡视路线。首先，由图中数据初步计算后判断分成四组可行，

针对问题三：在问题二中关于T,