大一高数复习资料【全】.doc

高等数学(本科少学时类型)

函数与极限

函数

○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★)

○邻域(去心邻域)(★)

数列得极限

○数列极限得证明(★)

【题型示例】已知数列,证明

【证明示例】语言

1.由化简得,

∴

2.即对,。当时,始终有不等式成立,

∴

函数得极限

○时函数极限得证明(★)

【题型示例】已知函数,证明

【证明示例】语言

1.由化简得,

∴

2.即对,,当时,始终有不等式成立,

∴

○时函数极限得证明(★)

【题型示例】已知函数,证明

【证明示例】语言

1.由化简得,

∴

2.即对,,当时,始终有不等式成立,

∴

无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大得本质(★)

函数无穷小

函数无穷大

○无穷小与无穷大得相关定理与推论(★★)

(定理三)假设为有界函数,为无穷小,则

(定理四)在自变量得某个变化过程中,若为无穷大,则为无穷小;反之,若为无穷小,且,则为无穷大

【题型示例】计算:(或)

1.∵≤∴函数在得任一去心邻域内就是有界得;

(∵≤,∴函数在上有界;)

2.即函数就是时得无穷小;

(即函数就是时得无穷小;)

3.由定理可知

()

极限运算法则

○极限得四则运算法则(★★)

(定理一)加减法则

(定理二)乘除法则

关于多项式、商式得极限运算

设:

则有

(特别地,当(不定型)时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)

【题型示例】求值

【求解示例】解:因为,从而可得,所以原式

其中为函数得可去间断点

倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):

解:

○连续函数穿越定理(复合函数得极限求解)(★★)

(定理五)若函数就是定义域上得连续函数,那么,

【题型示例】求值:

【求解示例】

极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则(P53)(★★★)

第一个重要极限:

∵,∴

(特别地,)

○单调有界收敛准则(P57)(★★★)

第二个重要极限:

(一般地,,其中)

【题型示例】求值:

【求解示例】

无穷小量得阶(无穷小得比较)

○等价无穷小(★★)

1.

2.

(乘除可替,加减不行)

【题型示例】求值:

【求解示例】

函数得连续性

○函数连续得定义(★)

○间断点得分类(P67)(★)

(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)

【题型示例】设函数,应该怎样选择数,使得成为在上得连续函数？

【求解示例】

1.∵

2.由连续函数定义

∴

闭区间上连续函数得性质

○零点定理(★)

【题型示例】证明:方程至少有一个根介于与之间

【证明示例】

1.(建立辅助函数)函数在闭区间上连续;

2.∵(端点异号)

3.∴由零点定理,在开区间内至少有一点,使得,即()

4.这等式说明方程在开区间内至少有一个根

导数与微分

导数概念

○高等数学中导数得定义及几何意义(P83)(★★)

【题型示例】已知函数,在处可导,求,

【求解示例】

1.∵,

2.由函数可导定义

∴

【题型示例】求在处得切线与法线方程

(或:过图像上点处得切线与法线方程)

【求解示例】

1.,

2.切线方程:

法线方程:

函数得与(差)、积与商得求导法则

○函数与(差)、积与商得求导法则(★★★)

1.线性组合(定理一):

特别地,当时,有

2.函数积得求导法则(定理二):

3.函数商得求导法则(定理三):

反函数与复合函数得求导法则

○反函数得求导法则(★)

【题型示例】求函数得导数

【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域上单调、可导,且;∴

○复合函数得求导法则(★★★)

【题型示例】设,求

【求解示例】

高阶导数

○(或)(★)

【题型示例】求函数得阶导数

【求解示例】,

,

……

隐函数及参数方程型函数得导数

○隐函数得求导(等式两边对求导)(★★★)

【题型示例】试求:方程所给定得曲线:在点得切线方程与法线方程

【求解示例】由两边对求导

即化简得

∴

∴切线方程:

法线方程:

○参数方程型函数得求导

【题型示例】设参数方程,求

【求解示例】1、2、

变化率问题举例及相关变化率(不作要求)

函数得微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则(★★★)

中值定理与导数得应用

中值定理

○引理(费马引理)(★)

○罗尔定理(★★★)

【题型示例】现假设函数在上连续,在上可导,试证明:,

使得成立

【证明示例】

1.(建立辅助函数)令

显然函数在闭区间上连续,在开区间上可导;

2.又∵

即

3.∴由罗尔定理知

,使得成立

○拉格朗日中值定理(★)

【题型示例】证明不等式:当时,

【证明示例】

1.(建立辅助函数)令函数,则对,显然函数在闭区间上连续,在开区间上可导,并且;

2.由拉格朗日中值定理可得,使得等式成立,

又∵,∴,

化简得,即证得:当时,

【题型示例】证明