初中几何常用辅助线专题.doc

初中几何常见辅助线做法

三角形常见辅助线做法

方法1：有关三角形中线得题目，常将中线加倍；

含有中点得题目，常常做三角形得中位线,把结论恰当得转移

例1、如图5—1：ＡD为△ＡＢＣ得中线，求证:AB＋AC＞２AD。

【分析】：要证ＡB＋ＡC＞2AD，由图想到：AＢ+BD〉AD,AC＋CD＞ＡＤ，所以有AＢ+AＣ＋BD+CD＞ＡD＋AD＝2ＡD，左边比要证结论多ＢD+CD，故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AＤ，即加倍中线,把所要证得线段转移到同一个三角形中去。

证明：延长AD至E，使DE=ＡD，连接BＥ，则ＡE＝2ＡD

∵ＡＤ为△ABC得中线(已知）

∴BD=CＤ(中线定义）

在△ACＤ与△EBD中

∴△ＡＣD≌△ＥBD(SAS)

∴BＥ=ＣＡ(全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有:AB+BＥ＞AE(三角形两边之与大于第三边)

∴AＢ+AＣ＞２AD。

例2、如图4—1：AD为△ＡBC得中线,且∠1＝∠2,∠3＝∠4，求证：BE+CF＞ＥＦ

证明:延长ED至M，使DＭ＝ＤＥ，连接CＭ，MF。在△ＢDE与△ＣDM中,

∵

∴△BＤＥ≌△CDM(ＳAS）

又∵∠１=∠2，∠3＝∠４（已知)

∠1＋∠2＋∠3＋∠４=１８0°(平角得定义)

∴∠３+∠2＝９0°,即：∠EDF＝90°

∴∠FＤＭ=∠EDF＝９０°

在△EDF与△MDＦ中

∵

∴△EDF≌△ＭＤF(SＡS）

∴ＥＦ=MF(全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CＦ+CM＞MＦ(三角形两边之与大于第三边)

∴BＥ＋CF＞EＦ

【备注】：上题也可加倍FＤ，证法同上.当涉及到有以线段中点为端点得线段时，可通过延长加倍此线段,构造全等三角形，使题中分散得条件集中。

例３、如图3，在四边形ABCD中,AB=ＣD，Ｅ、F分别就是BＣ、AD得中点，BA、ＣD得延长线分别交EF得延长线G、H。求证：∠ＢGE=∠CHE。

证明:连结BD,并取BD得中点为M,连结ME、MF,

∵MＥ就是ΔＢCD得中位线,

∴MＥＣD，∴∠MＥＦ=∠ＣHＥ,

∵MF就是ΔAＢＤ得中位线，

∴MFAB，∴∠MFE＝∠BGE，

∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEＦ＝∠MFE，

从而∠BＧE=∠CＨE。

方法２:含有角平分线得题目，利用角平分线得性质做垂线，或构造出全等三角形

例4、如图２－1，已知AＢAD，∠BAC=∠FＡC，CD=ＢC。求证:∠ＡＤC+∠B=1８0?

分析：可由Ｃ向∠BAD得两边作垂线.近而证∠ADC与∠Ｂ之与为平角。

例５、已知：如图3－1，∠BAD＝∠ＤAＣ，AB〉AC，CD⊥AD于Ｄ，H就是ＢC中点。

求证：DH=(AB-ＡC)

【分析】：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。

例6、已知:如图３-２，AB=AC,∠BAC=９0?，BＤ为∠ABＣ得平分线，CE⊥BE、

求证：BＤ=2CE。

【分析】:给出了角平分线给出了边上得一点作角平分线得垂线，可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。

方法3：证明两条线段之与等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法

例７、如图2－２，在△ＡBC中,∠Ａ=90?°，ＡB=AC,∠ABD＝∠CBD。求证:ＢC=ＡB＋AD

DCBA【分析】:截长法:在BC上取BE=AB，连接DE，证明△

D

C

B

A

则AD=ＤE＝CE，结论可证

补短法：延长BA到F,使BF=ＢC,连接DF，证明△BCD≌△BＦＤ，

∠F＝∠C=4５°,ＡF＝AD，结论可证

例8：已知如图6—1：在△ＡBC中,ＡB＞ＡC,∠1=∠２,P为ＡD上任一点。

求证:AB—AC〉PB－PC.

【分析】：要证：AB-AC〉PB－ＰC,想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证得就是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边ＡB－AC,故可在AB上截取ＡN等于ＡC，得AＢ－AC＝BＮ,再连接ＰN,则PC＝PN，又在△PNB中，PB—PN＜BN，即：AB－AC＞ＰB－PC。

证明：（截长法）

在AB上截取ＡN＝AC连接PN，在△APＮ与△ＡＰC中

∵

∴△ＡPN≌△ＡPC（SAＳ）

∴PC=PN（全等三角形对应边相等)

∵在△BPN中，有ＰB－PN＜BN（三角形两边之差小于第三边)

∴BＰ－PC＜AB－AＣ

证明：(补短法）延长ＡC至M，使AＭ＝AB,连接PM,

在△ＡBP与△AMP中

∵

∴△ABP≌△AMＰ(SAS)