高等代数授课教师专升本二.pptxVIP

辅导课程二;;;?于是代数余子式为;;作业：P48:1,1),2),6)

P49:2,3

P58:2

P59:3,6),7)

P60:4,5

P64:1

p76:1,1),2);;第一节矩阵的定义和运算

;矩阵;叫做一个s×t型的矩阵，Cij称为矩阵的

元素，矩阵中的横排叫做行,竖排叫做列。

当矩阵的行数与列数均为n时，叫这个矩

阵为n阶矩阵或竖排叫做列。当矩阵的行

数与列数均为n时，叫这个矩阵为n阶矩

阵或n阶方阵。用字母A、B、C、…或

，…来表示矩阵;初等变换;;矩阵加法的性质：用表示数域F上

一切m行，n列的矩形之集合，于是在Mm*n（F）

中任何两个矩阵均可以相加且有以下性质：

（1）(A+B)+C=A+(B+C),

（2）m行n列的零矩阵O满足：A+O=O+A=A，

对于成立

（3）对?????????????????，???????，使

A+B=B+A=0，称B为A的负矩阵，记为

B=-A。;由性质3每个m行，n列的矩阵均有负矩

阵，有了负矩阵的概念，我们

就可以定义减法。

对??????，规定A-B=A+（-B）。;注意：必须是同型的两个矩阵才能相加。

;;矩阵的数乘运算：

设F是一个域，A为F上的m×n阵，记A=

，对于规定k与A的数乘运算

为，既用k遍乘A的所有的元素。;数乘运算的性质：

（1）1A=A；

（2）（kl）A=k（lA）=(lk)A；

（3）k（A+B）=kA+kB；

（4）（k+l）A=kA+lA；

（5）0A=0，k0=0（注意：0A=0中左边的

0为数0，右边的为零矩阵）

（6）（-1）A=-A

（7）若kA=0，则k=0或A=0；

（8）k（AB）=（kA）B=A（kB）。;

矩阵运算的奇异性

（1）两个非零矩阵之积可以为零矩阵。例如:

有

（2）由上例可知矩阵的乘法没有交换律，且可能出现AB有意义，而BA没有意义的情况。

例：

CD有意义，但DC无意义。;（3）即使AB有意义，仍会出现

。例如;第二节几类特殊矩阵;2、单位矩阵：主对角线元素全为1，其余元素全为0的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵，记为En或E，即;3、数量矩阵（或数乘阵）：主对角线上元

素为K，其余元素为0的n阶矩阵。

记为K*，即K*=?

;4、对角阵：除主角线上元素外，其余元素

均为零的矩阵，记为

;5、上（下）三角阵：主对角下方（或上方）

元素全为0的矩阵，记为T上（或T下），即;转置矩阵：设A为m×n阵，将A的行作为

列得到的n×m阵，称为矩阵A的转置,记为

.即若：

;对称阵：若n阶矩阵A满足=A,称A为

对称矩阵。;初等矩阵：对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵。

注意：按定义，初等矩阵应该有六种.但对单位矩阵施行列变换得到的矩阵可以用行变换来解释，因此本质上就只有三种初等矩阵，关系,如下：;???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????;;(3)用n（或s）阶初等矩阵P（i，j（k））

左（或右）乘以A，相当于把A的第j行

（或第i列）的k倍加到A的第i行（或第j

列）。

说明：由上述性质可知，用初等矩阵左乘一个矩阵，相当于对该矩阵作行变换，用初等矩阵右乘一个矩阵,相当于该矩阵作列变换.而且所做的变换就是产生该初等矩阵时对单位矩阵时所作的变换。