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第5章
设试证:
〔1〕
〔2〕
解:(1)
(2)同上
2、设,试证:
〔1〕是矩阵范数;
〔2〕是矩阵范数。
解:(1)非负性与齐次性显见。三角不等式
注意:是内积,用了柯西不等式。
乘法相容性:
记,,,
=
〔2〕是矩阵范数
3、对设是诱导范数,,试证:
〔1〕
〔2〕
解:〔1〕
,而
〔2〕
=1
5、设是正数,,试证:是向量范数。
证明:
而
6、设A是正定Hermite矩阵,试证:假设那么是的向量范数。
证明:
而由柯西不等式
8、讨论矩阵幂级数的收敛性。
解:幂级数的收敛半径R=1,矩阵的谱半径,判别法失效。
,有一个一阶子式为非零常数,
,约当标准型为,,由收敛,可知所给幂级数收敛。
9、计算矩阵幂级数
幂级数收敛半径为10,矩阵的谱半径为5,所以矩阵级数收敛。
求的约当分解,
特征值为,-3,5,特征向量分别为,,,
,所以
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