矩阵分析第5章解答1.doc

第5章

设试证：

〔1〕

〔2〕

解：(1)

(2)同上

2、设，试证：

〔1〕是矩阵范数；

〔2〕是矩阵范数。

解：(1)非负性与齐次性显见。三角不等式

注意：是内积，用了柯西不等式。

乘法相容性：

记，，，

=

〔2〕是矩阵范数

3、对设是诱导范数，，试证：

〔1〕

〔2〕

解：〔1〕

，而

〔2〕

=1

5、设是正数，，试证：是向量范数。

证明：

而

6、设A是正定Hermite矩阵，试证：假设那么是的向量范数。

证明：

而由柯西不等式

8、讨论矩阵幂级数的收敛性。

解：幂级数的收敛半径R=1,矩阵的谱半径，判别法失效。

，有一个一阶子式为非零常数，

，约当标准型为，，由收敛，可知所给幂级数收敛。

9、计算矩阵幂级数

幂级数收敛半径为10，矩阵的谱半径为5，所以矩阵级数收敛。

求的约当分解，

特征值为，-3,5，特征向量分别为，，，

，所以