全等三角形地相关模型总结材料.docx

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全等的相关模型总结

一、角平分线模型应用

角平分性质模型：

辅助线：过点G作GE?射线AC

（1）.例题应用：

①如图1，在?ABC中，?C?900，AD平分?CAB,BC?6cm,BD?4cm,那么点D到直线AB的距离是 cm.

②如图2，已知，?1??2，?3??4.求证：AP平分?BAC.

图1 图2

①2 （提示：作DE?AB交AB于点E）

②??1??2，?PM?PN，??3??4，?PN?PQ，?PM?PQ,?PA平分?BAC.

模型巩固：

练习一：如图3，在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分?BAC.

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.求证：?A??C?180?

图3

练习二：已知如图4，四边形ABCD中，

?B??D?1800,BC?CD.求证：AC平分?BAD.

练习三：如图5

图4

Rt?ABC中，?ACB?900，CD?AB,垂足为D，AF平分?CAB,

，

交CB于点F.

交CD于点E，

求证：CE=CF.

将图5中的△ADE沿AB向右平移到?ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.

图5 图6

练习四：如图7，∠A?90?，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC．

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求证：CP平分∠DCB．

D

2

1

4 E

P 3

C

图7

练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．

图8

练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F

为垂足，DE⊥AB于E，并且ABAC。求证：BE－AC=AE。

D A

E

B C

F

图9

练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。

A

F E

B D C

角平分线+垂线，等腰三角形比呈现

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辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB

（1）.例题应用：

①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：BE?1(AC?AB)

2

证明：延长BE交AC于点F。

②．已知：如图2，在?ABC中，?BAC的角平分线AD交BC于D,且AB?AD,

作CM?AD交AD的延长线于M.求证：AM?1(AB?AC)

2

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分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.

证明：过点C作CE∥AB交AM的延长线于点E.

例题变形:如图，?1??2，B为AC的中点，CM?FB于M,AN?FB于N.

FB?1(FM?FN).

求证：①EF?2BM; ② 2

模型巩固：

练习一、如图3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，

CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

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图3

练习一变形：如图4，在△ODC中，?D?900，EC是?DCO的角平分线，且OE?CE，过点E作EF?OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.

图4

练习二、如图5，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求证：

DE∥BC

A

D E

B C

图5

练习三、如图6，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点

E是DC中点。

A D

E

B C

图6

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练习四、①、如图7（a），BD、CE分别是?ABC的外角平分线，过点A作AD?BD、

DE?1(AB?BC?AC)

AE?CE，垂足分别是D、E，连接DE.求证:DE∥BC， 2 .

图7（a） 图7（b） 图7（c）

②、如图7（b），BD、CE分别是 ?ABC的内角平分线，其他条