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第2课时《全概率公式》教学设计
(一)教学内容
全概率公式,贝叶斯公式
(二)教学目标
结合古典概型,会利用全概率公式计算概率,*了解贝叶斯公式.
(三)教学重点与难点
重点:全概率公式及其应用
难点:运用全概率公式求概率
(四)教学过程设计
1.引入新课
问题1:从1个红球和4个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.第一次
摸到红球和第二次摸到红球的概率相同吗?
追问1:第一次摸到红球的概率是多少?
答:从1个红球和4个蓝球中随机取1个球,是红球的概率
追问2:第二次摸到红球的概率是多少?
答:可以把问题看成从五个球中取2个球并排成一行,且第二个球为红球的概率.
从5个球中任取2个球进行排列的种类数为:(种)
从五个球中取2个球并排成一行,且第二个球为红球的种类数为:
第二次摸到红球的概率是:
两次摸到红球的概率相同,抽签具有公平性.
设计意图:从排列组合的角度解决了抽签公平性的问题,这个问题也可以从全概率公式的角
度进行解释,为以下研究全概率公式做好铺垫.
2.课堂探究
问题2:从a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第一
次摸到红球的概率头那么第2次摸到红球的概率是多大?
追问1:你能直观感知猜测出2次摸到红球的概率是多大吗?
答:因为抽签具有公平性,所以第2次摸到红球的概率也应该;
追问2:你能用问题1的方法证明这个猜测结果吗?
证法1:把问题看成从a+b个球中取2个球并排成一行,且第二个球为红球的概率.
从a个球中任取2个球进行排列的种类数为:
从a个球中取2个球并排成一行,且第二个球为红球的种类数为:
第二次摸到红球的概率是:
追问3:有同学提出疑问,既然摸出的球不再放回,那么第二次摸到红球是会受到第一次摸
球结果的影响的,为什么第一、二次摸到红球的概率还会是相同的呢?
答:我们用R;表示事件“第i次摸到红球”,B?表示事件“第i次摸到蓝球”.那么我们可
以用图形来表示事件之间的关系.
第二次拿到红球,事件R?可按第一次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事
件的并,即R?=R?R?UB?R?
第一次
R?
P(R)
P(B?)
B?
第一次
PIR?RD—R----R?RAB?IR)—B?----R?B?
PCR?\B)-R?----B?R?
A??—B?----B?B?
P(R?)=P(R?R?UB?R?)=P(R?R?)+P(B?R?)
=P(R?)P(R?IR?)+P(B?)P(R?IB?)
追问4:假如把问题变为“从a个红球、b个蓝球和c个黄球的袋子中,每次随机摸出1个球,
摸出的球不再放回.那么第2次摸到红球的概率是多大?”你能类比上述过程进行计算吗?
答:我们继续用Y;表示事件“第i次摸到黄球”,事件R?可按第一次可能的摸球结果(红球或
蓝球或黄球)表示为三个互斥事件的并,即R?=R?R?UB?R?UY?R?,那么
P(R?)=P(R?R?UB?R?UY?R?)=P(R?R?)+P(B?R?)+P(Y?R?)
=P(R?)P(R?IR?)+P(B?)P(R?|B?)+P(Y?)P(R?IY?)
追问5:上述解决问题的过程采用了怎样的方法?
答:它们都是按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公
式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
问题5:将以上问题一般化,你能得到什么结果吗?
答:设A?,A?,…,Aπ是一组两两互斥的事件,A?UA?U…UAn=Ω,且P(A?)0,i=
1,2,…,n,对于任意的事件B∈Ω,求事件B的概率P(B).
全概率公式:一般地,A?,A?,…,A,是一组两两互斥的
事件,A?UA?U…UAn=Ω,且P(A)0,i=1,2,
…,n,则对于任意的事件BCΩ,有
设计意图:由具体实例,通过数学抽象得出一般性的数学结论,是培养学生数学抽象素养
的重要途径,需要向学生指出,对于全概率公式,我们只对发现的规律作了一般性的推
广,并没有对全概率公式进行严格的证明,其实按照对于特殊情形的全概率公式的证明,我们也能证明这个公式,虽然我们没有证明全概率公式,这并不妨碍我们用全概率公式求
概率.
3.知识应用
例1:某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为
0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
追问:“王同学第2天去A餐厅用餐”可以表示为哪些两两互斥的事件的并?
答:第2天去哪家餐厅用餐的概
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