第二十二章二次函数 二次函数的实际应用与直线交点问题2023-2024学年人教版数学九年级上册 .docx

二次函数的实际应用与直线交点问题

例题讲解

例题1、为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为元.

(1)求与之间的函数解析式.

(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元?

(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，那么销售价应定为每千克多少元?

例题2、拱桥是我国古代桥梁的经典建筑形状之一，如图1，当拱桥拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：

如图2，求该抛物线的函数解析式

当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）

例题3、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.

求抛物线的对称轴及线段AB的长；

抛物线的顶点为P，当∠APB=120°时，求顶点P的坐标及的值；

若在抛物线上存在点N，使得∠ANB=90°，结合图像，则的取值范围是多少？

例题4、在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，并且经过点B.

求点B的坐标

如果抛物线与线段AB有唯一公共点，那么的取值范围是多少？

例题5、已知二次函数，其中.

求该抛物线图像的对称轴

过动点C作直线轴.

①当直线与抛物线只有一个公共点是，求与的函数关系；

②若该抛物线与轴有两个交点，将其在轴下方的部分沿轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，当时，直线与新的图像恰好有三个公共点，求此时的值.

③若对于每一个给定的的值，它所对应的函数值都不小于1，请求出的取值范围.

小试牛刀

1、某商场购进一批单价为4元的日用品.如果按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；如果按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件.假定每月销售件数(件)与价格(元/件)之间满足一次函数关系.

(1)试求与之间的函数解析式.

(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?

某电子科技公司开发一种新产品.产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).在1～12月份中，公司前个月累计获得的总利润(万元)与销售时间(月)之间的函数解析式对应的点都在如图所示的图象上.该图象是某二次函数图象的一部分，点A为该抛物线的顶点，且点A，B的坐标分别为，，点C的横坐标为12

试确定函数关系式；

分别求出钱9个月公司累计获得的利润和10月份这一个月内所获得的利润

在钱12个月中，那个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A.点A与点B关于轴对称，过点B作轴的垂线，直线与直线交于点C.

求点C的坐标

当抛物线与线段BC有唯一公共点时，全球的取值范围.

直线与轴，轴分别交于A，B两点，点A关于直线对称的点为点C.

求点C的坐标

当抛物线经过A，B，C三点时，求该抛物线的表达式；

当抛物线经过A，B两点，且顶点在第二象限时，该抛物线与线段AC有两个公共点，求的取值范围.

在平面直角坐标系中，抛物线经过A，B两点.

求该抛物线的表达式

抛物线在第一象限内的部分记为图像g，如果过点P的直线与图像g有唯一公共点，请结合图像求的取值范围.

6、如图所示，已知二次函数的图像过点A，C.

求该二次函数的解析式

如在该抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为110，请求出点P的坐标.

巩固练习

1、在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P.P，M两点关于原点O成中心对称.

求点P，M的坐标；

当该抛物线经过原点时，求其表达式；

在（2）的条件下，将该抛物线沿轴翻折，翻折后的图像在的部分记为图像h，点N为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图像h有两个公共点，结合图像求出点N的纵坐标n的取值范围.

在平面直角坐标系中，抛物线经过A，且顶点坐标为B.

求该抛物线的解析式

设F为轴正半轴上一点，将抛物线绕点F旋转180°得到抛物线

①抛物线的顶点的坐标为

②当抛物线与线段AB有公共点时，结合函数图像求出的取值范围.

如图1所示，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为，，直线AD交BC与于点D，抛物线过A，D两点.

求抛物线的解析式

点P事抛物线对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有满足条件的点P的坐标.

如图2所示，点E的坐标为，连接AE，将抛物线的图像向下平移个单位得到抛物线.

①设点D平移后的对应点为，当点恰好落在直线AE上时，求的值；

②当时，若抛物线与直线AAE有两个交点，则的取值范围是多少？

图1

图1