高二数学优质课公开课章末高效整合2 .pdf

数学第二章推理与证明

选修2-2知能整合提升热点考点例析阶段质量评估

数学第二章推理与证明

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知能整合提升

数学第二章推理与证明

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一、合情推理和演绎推理

1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事

实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提

出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别

到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一

般到特殊的推理．

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2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，

有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提

下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥

作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理

的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合

情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．

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二、直接证明和间接证明

1．直接证明包括综合法和分析法

(1)综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推

证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B⇒B

12

⇒…⇒B⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的

n

常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．

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(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分

条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，

由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、

公理、公式、法则等)，用分析法证明命题的逻辑关系是：

B⇐B⇐B⇐…B⇐A，它的常见书面表达是“要证…只需…”

12n

或“⇐”．

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2．间接证明主要是反证法

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，

最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，

这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．

反证法主要适用于以下两种情形：

(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出

结论的线索不够清晰；

(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而

从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．

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三、数学归纳法

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论

证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真

实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的

保证，两步合在一起为完