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直线系方程的问题分类解析
河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组〔4722000〕赵建文
直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题,在解题中有着重要的应用,本文将直线系在解题中的应用作以介绍,供同学们学习时参考.
一、平行直线系方程在解题中的应用
与直线:〔A,B不同时为0〕平行的直线系方程为:〔〕.
例1直线:,∥,直线:被,截得的线段长为,求直线的方程.
分析:此题是两直线平行和其中一条直线方程求直线方程问题,可用平行直线系求解.
解析:设:〔〕,直线到直线所处的角为,直线、间的距离为,
由题知,=-1,=,由到角公式得,==,
∴=,∴==,
由平行线间距离公式得,=,解得=—2或=4,
∴直线方程为:或.
点评:对于两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题,常用平行直线系法,以简化计算.此题也可以由两直线平行斜率相等求出所求直线斜率,把所求直线方程设成点斜式,再利用点到直线的距离公式列出关系式求解.
二、垂直直线系方程在解题中的应用
与直线:〔A,B不同时为0〕垂直的直线系方程为:.
例2直线是曲线的一条切线且与直线垂直,求直线的方程.
分析:此题是两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题,可用垂直直线系法.
解析:设:,
由消去得,,
由与曲线相切得,==0,解得=0,
∴:.
点评:对两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题,常用垂直直线系法,可以简化计算.此题设出切点坐标,用导数求出切线斜率,利用切线与直线垂直,列出关于切点横坐标的关系式,求出切点横坐标,写出直线方程.
三、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点〔,〕的直线系方程:〔A,B不同时为0〕.
例3求过点圆的切线的方程.
分析:此题是过定点直线方程问题,可用定点直线系法.
解析:设所求直线的方程为〔其中不全为零〕,
那么整理有,
∵直线l与圆相切,∴圆心到直线l的距离等于半径1,故,
整理,得,即〔这时〕,或.
故所求直线l的方程为或.
点评:对求过定点〔,〕的直线方程问题,常用过定点直线法,即设直线方程为:,注意的此方程表示的是过点的所有直线〔即直线系〕,应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制,在实际解答问题时可以防止分类讨论,有效地防止解题出现漏解或错解的现象.
四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用
过直线:〔不同时为0〕与:〔不同时为0〕交点的直线系方程为:〔,为参数〕.
例4求过直线:与直线:的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
分析:此题是过两直线交点的直线系问题,可用过交点直线系求解.
解析:设所求直线方程为:,
当直线过原点时,那么=0,那么=-1,
此时所求直线方程为:;
当所求直线不过原点时,令=0,解得=,
令=0,解得=,
由题意得,=,解得,
此时,所求直线方程为:.
综上所述,所求直线方程为:或.
五、求直线系方程过定点问题
例5证明:直线(是参数且∈R)过定点,并求出定点坐标.
分析:此题是证明直线系过定点问题,可用恒等式法和特殊直线法.
解析:〔恒等式法〕直线方程化为:,
∵∈R,∴,解得,,,
∴直线(是参数且∈R)过定点〔1,1〕.
〔特殊直线法〕取=0,=1得,,,联立解得,,,
将〔1,1〕代入检验满足方程,
∴直线(是参数且∈R)过定点〔1,1〕.
点评:对证明直线系过定点问题,常用方法有恒等式法和特殊直线法,恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式,利用参数属于R,那么恒等式个系数为0,列出关于的方程组,通过解方程组,求出定点坐标;特殊直线法,去两个特殊参数值,得到两条特殊直线,通过接着两条特殊直线的交点坐标,并代入原直线系方程检验,即得定点.
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