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直线系方程的问题分类解析

河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组〔4722000〕赵建文

直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用，本文将直线系在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.

一、平行直线系方程在解题中的应用

与直线：〔A,B不同时为0〕平行的直线系方程为：〔〕.

例1直线：，∥，直线：被，截得的线段长为，求直线的方程.

分析：此题是两直线平行和其中一条直线方程求直线方程问题，可用平行直线系求解.

解析：设：〔〕，直线到直线所处的角为，直线、间的距离为，

由题知，=－1，=，由到角公式得，==，

∴=，∴==，

由平行线间距离公式得，=，解得=—2或=4，

∴直线方程为：或.

点评：对于两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.此题也可以由两直线平行斜率相等求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式，再利用点到直线的距离公式列出关系式求解.

二、垂直直线系方程在解题中的应用

与直线：〔A,B不同时为0〕垂直的直线系方程为：.

例2直线是曲线的一条切线且与直线垂直，求直线的方程.

分析：此题是两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.

解析：设：，

由消去得，，

由与曲线相切得，==0，解得=0，

∴：.

点评：对两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.此题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.

三、过定点直线系方程在解题中的应用

过定点〔，〕的直线系方程：〔A,B不同时为0〕.

例3求过点圆的切线的方程．

分析：此题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.

解析：设所求直线的方程为〔其中不全为零〕，

那么整理有，

∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故，

整理，得，即〔这时〕，或．

故所求直线l的方程为或．

点评：对求过定点〔，〕的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:，注意的此方程表示的是过点的所有直线〔即直线系〕，应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以防止分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．

四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

过直线：〔不同时为0〕与：〔不同时为0〕交点的直线系方程为：〔，为参数〕.

例4求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

分析：此题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.

解析：设所求直线方程为：，

当直线过原点时，那么=0，那么=－1，

此时所求直线方程为：；

当所求直线不过原点时，令=0，解得=，

令=0，解得=，

由题意得，=，解得，

此时，所求直线方程为：.

综上所述，所求直线方程为：或.

五、求直线系方程过定点问题

例5证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.

分析：此题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.

解析：〔恒等式法〕直线方程化为:,

∵∈R,∴，解得，，，

∴直线(是参数且∈R)过定点〔1,1〕.

〔特殊直线法〕取=0，=1得，，，联立解得，，，

将〔1,1〕代入检验满足方程，

∴直线(是参数且∈R)过定点〔1,1〕.

点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，那么恒等式个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.