全等三角形中常见的辅助线添加方法.docx

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全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例

一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。

分析：要证BE＋CF＞EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。 A

N

E F

2 3

1 4

B D C

练习：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

EO

E

O

B D C

二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF

A

E F

2 3

1 4

B D CM

练习：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是BC中点，试比较BE+CF与EF的大小.

A

EFB D

E

F

ABDC

A

B

D

C

分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB

＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

E

图3

练习：1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是 .

A

B D C

2、已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。

AE

A

F

B D C

图 4

四、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图5：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。

分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之， A

因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造 12

第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再

连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞ N P C

PB－PC。 D

B 图5 M

练习：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC，

D求证：?A??C?1800 A

D

B C

.

.

五、延长已知边构造三角形：

例如：如图6：已知AC＝BD，∠CAD=∠CBD，求证：AD＝BC

EABO分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与

E

A

B

O

D C

图6

六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。

分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

A1

A

1

3

4

2

B C

七、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD

＝2CE

分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。

CD

C

D

2

E

.

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八、连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。

OA D

O

B C

图 9

九、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。

A N D

B M C

图10

十、旋转

例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EA