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第三章导数与微分

一．符号

1.f(x)在x0处的导数记作f(x0)

2.左导数记作lim?x→0-Δ

右导数同理

3.高阶导数yy(n)d2

其中dny

4.y=f(x)在点x处的微分为A?x,记为dy或df(x)。即dy=A?x

二.定理

定理3.1如果函数在x0处可导，则它在x0处

证明：由可导得lim?x→0Δ

由?y=

得lim

=f

即函数在x0处

该定理的逆定理，即函数连续可导，不一定成立。

附：可导的充要条件为f(x)在x0处的

三.公式

-（一）导数公式P125（其证明在P111-125）

（7）[f-1(y)]’=1fx

（8）x=g(t)y=h(t)dydx=g(t)h(t)

（10）log

（12）（ax）

（16）(tanx)’=1cos2

（17）(cotx)’=-1sin2

（18）(secx)’=secx?tanx

（19）(cscx)’=-cscx?cotx

（20）(arcsinx)’=11-x2(-1

（21）(arccosx)’=-11-x2(-1

（22）(arctanx)’=1

（23）(arccotx)’=-1

（二）微分公式P134

dy=f

（三）高阶导数公式

（1）(ex)

（2）(

（3）(

（4）[ln(1+x)]

（5）(ax)

（四）用微分作近似计算的基本公式

f

?y≈f(

四.题型

1.根据定义求导数

设f(x)=x(x+1)(x+2)?(x+n),求f’(-1)

解：f’(-1)=limx→-1f

=(-1)?1?2?(n-1)=-(n-1)!

2.利用导数的定义求极限

设f(x)是周期为2的函数，且f’(-1)=2，求lim

解：lim

=-

3.导数的应用

求曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直

解：设切点为(x0,y

k=

由题可知1x0=-

代入y=lnx得

故所求切线方程为y-0=1?(x-1)

即x-y-1=0

4.抽象形式的复合函数求导

注意f’[g(x)]与{f[g(x)]}’的区别，前者可看作t=g(x)，对t求导，后者是对x求导。

5.隐函数求导

设f(x)可导且af(x)+bf(1x)=cx，其中a，b，c为常数且|a|≠|b|，求f

解：对方程两边求导得

afx

令t=1x，原式变为

即af

对x求导得-ax

则②×b-①×a得b

即f