概率论与数理统计考研回忆(纯手写不保证正确).doc

概率论

古典概率

古典概率：概率五公式：加、减、乘、全概、贝叶斯

1.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

2.P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A-B)≡P(AB)=P(A)-P(AB)P(A)=P(AB)+P(AB)

3.P(AB)=P(A|B)P(B)

4.若事件A由几个互不相容的事件Bi

P(A)=P(A|B

用于已知Bi

5.若事件A由几个互不相容的事件Bi

P(Bi

关于互斥、独立与不相关的区别：

1.AB互斥（不相容）：P(AB)=0

2.AB两两独立：P(AB)=P(A)P(B)

AB独立：等价于AB两两独立：P(AB)=P(A)P(B)

ABC两两独立：P(AB)=P(A)P(B)且P(AC)=P(A)P(C)且P(BC)=P(B)P(C)

ABC三三独立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

ABC独立：ABC两两独立、ABC三三独立同时成立：P(AB)=P(A)P(B)且P(AC)=P(A)P(C)且P(BC)=P(B)P(C)

且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

ABC…独立：从2到n的nn独立同时成立

3.AB不相关：Cov(A,B)=0或P(AB)=P(A)P(B)或ρAB

通用概率模型：

古典概率：等可能事件

几何概率：面积作比，或用第一型曲线曲面积分计算

投球入盒问题与盒中抽球问题：

事件总体个数表

摸球问题

（N个球中取M个球）

球可辨

有序放回（独立重复试验）

N

无序不放回（古典概率）

C

有序不放回（抽签模型）

A

投球问题

（M个球放到N个盒中）

球不可辨

盒不可重入（最多一个球）

C

盒可重入（任意多球）

C

球可辨

盒不可重入（最多一个球）

A

盒可重入（任意多球）

N

现代概率

现代概率：随机事件数字化，连续化：概率→概率密度

基础内容

概率密度分布函数

概率密度

分布函数

概率密度分布函数

概率密度

分布函数

特征函数

数字特征

期望方差原点矩中心矩

协方差互协方差相关时间

自相关函数互相关函数

自相关系数相关系数

功率谱密度互功率谱密度

4个数字特征重要公式：

DX=EX2

D

CovX,Y=EXY-EXEY

ρ=

基本概率模型：

类别

分布

记号

概率(密度)

期望

方差

离散

二项分布

B(n,p)

C

np

npq

泊松分布

P(λ)

λ

λ

λ

几何分布

G(p)

q

1

q

连续

均匀分布

U(a,b)

1

a+b

(a-b)

指数分布

E(λ)

λe-λx,

1

1

正态分布

N(μ,σ2

1

μ

σ

最大值最小值分布：max(X,Y)F

max(X,Y)F

二维正态分布：f

多维随机变量

联合密度f(x,y)

联合密度f(x,y)

边缘密度fXx,y

条件密度fX|Yx,y

联合分布边缘分布

联合分布

边缘分布

条件分布

已知随机变量的分布，求随机变量的函数的分布：已知X的分布求f(X)的分布，已知X,Y的分布求f(x,y)的分布等

方法：分布函数法和公式法

一维离散

列概率分布列

一维连续

1.公式法：fY(y)=fX

2.分布函数法：F

二维离散

列概率分布表

二维连续

1.公式法：

和型

Z=kX+Y

f

有个规律就是，将y代入f(x,y)，再乘以?y

Z=aX+bY+c

f

积型

Z=XY

f

f

商型

Z=X/Y

f

大写变小写F

大写变小写

F

然后分三步：=1\*GB3①画出z区域

=2\*GB3②确定z的积分区间

=3\*GB3③分区间进行区域积分

最后注意分段函数讨论自变量范围

二维离散连续混合

综合运用分布函数法和全概率公式：

F

数理统计

基础内容

总体，样本，样本均值X，样本方差S2

统计量：

X=1

S2=1n-1

对于正态总体，EX=μ，DX=

抽样分布：

χ

t=

F=

对于正态总体，X与S2相互独立，

n-1

X

S

大数定律

一个不等式、两个定理、三个定律

切比雪夫不等式：P(X-μ≥ε)≤

独立同分布中心极限定理：对X作独立重复试验，当n非常大时Y=i=1nXi~N(n

参数估计

已知某一总体的概率模型，但参数未知，而通过多次抽样后的统计量来估算待定参数的过程。

X，S2，X

点估计：

矩估计：=1\*GB3①EX=-∞+∞xf

=2\*GB3②反解θ=h(EX)

=3\*GB3③令θ=h(x

极大似然估计：=1\*GB3①L=fx1f

=2\*GB3②lnL=lnfx1+lnf

=3\*GB3③dlnLd