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（整理）随机过程课后习题

习题⼀

1．设随机变量X服从⼏何分布，即：(),0,1,2,...kPXkpqk===。求X的特征函数、EX及DX。其中01,1pqp=-是已知参

数。

2．（1）求参数为（p,b）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为

（2）求其期望和⽅差；

（3）证明对具有相同的参数b的Γ分布，关于参数p具有可加性。3．设X是⼀随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格

单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)YaFXbab=+≠是常数；（2）Z=lnF()X，并求()kEZ（k为⾃然数）。4．设12,,...,nXXX相互独⽴，具有相

同的⼏何分布，试求的分布。5．试证函数为⼀特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数为⼀特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,nXXX相互独⽴同服从正态分布2(,)Naσ，试求n维随机向量12,,...,nXXX的分布，并求出其均值向量和协⽅差

矩阵，再求的概率密度函数。

8．设X、Y相互独⽴，且（1）分别具有参数为(m,p)及(n,p)的⼆项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)pbpb的Γ分布。求

X+Y的分布。9．已知随机向量（X,Y）的概率密度函数为

试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X,X,X,X1234（）服从正态分布，均值向量为0，协⽅差矩

阵为Bσ?kl44=()，求(X,X,X,XE1234)。

11．设X1，X2和X3相互独⽴，且都服从(0,1)N，试求随机变量112YXX=+和

213YXX=+组成的随机向量(Y1,Y2)的特征函数。

12．设X1，X2和X3相互独⽴，且都服从2(0,)Nσ，试求：

（1）随机向量(X1,X2,X3)的特征函数；

1,0()

0,0()ppbx

bxexpxpx--??

Γ??≤?

=0,0

bp1

n

k

kX=∑

(1)()(1)

jtjntjteeftne-=-21

()1ftt

=+1

1n

iiXXn==∑22

1[1()],1,1

(,)40,xyxyxypxy?+--

（2）设112123123,,SXSXXSXXX==+=++，

求随机向量(S1,S2,S3)的特征函数；

（3）121YXX=-和232YXX=-组成的随机向量(Y1,Y2)的特征函数。13．设(X1,X2,X3)服从三维正太分布(0,)NB，其

中协⽅差矩阵为33Bσ?ld=()，且

2112233σσσσ===。试求22222

2123[()()()]EXXXσσσ。

14．设12,,...,nXXX相互独⽴同服从正态分布2(0,)Nσ。试求的期望。

15．设X、Y是相互独⽴同分布的(0,1)N随机变量，讨论22UXY=+和的独⽴性。

16．设X、Y是相互独⽴同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论UXY

=+和的独⽴性。

17．设⼆维随机变量(,)XY的概率密度函数分别如下，试求(|)EXYy=。

（1）（2）

18．设X、Y是两个相互独⽴同分布的随机变量，X服从区间[0,1]上的均匀分布，Y服从参数为λ的指数分布。求（1）X与

X+Y的联合概率密度函数；（2）D(X|Y=y)。

19．设Xn，n=1，±1，±2，…是⼀列随机变量，且

，其中K是正常数。试求：（1）当K1时，Xn⼏乎肯定收敛于0；（2）当K2时，Xn均⽅收敛于0；（3）当K3时，Xn

不均⽅收敛于0。

20．设,ppnnXaYb??→??→，试证明p

nnXYab±??→±。

习题⼆

1．设X(i=1,2,3,…)是独⽴随机变量列，且有相同的两点分布，令(0)0Y=，，试求：21

exp()n

niiYX==-∑X

VY

=XVXY

=+1,0,0(,)0,x

yy

e

xypxyy

--??=其他

2,0(,)0,xeyx

pxyλλ-?=?

其他

0~1211nKKKn

nXn

nn-????