高中数学文化鉴赏与学习专题3杨辉三角以杨辉三角为背景的高中数学考题题组训练含解析.docxVIP

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专题3杨辉三角

（以杨辉三角为背景的中学数学考题题组训练）

一、单选题

1．如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n为非负整数）绽开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的全部数字之和为（???????）

A．256 B．512 C．1024 D．1023

【答案】B

【解析】

【分析】

由图形以及二项式系数和的有关性质可得.

【详解】

由图知，第10行的全部数字之和为，

由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的全部数字之和为．

故选：B

2．“杨辉三角”是中国古代数学文化的珍宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发觉这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，……，第行的第3个数字为则（???????）

A．165 B．120 C．220 D．96

【答案】A

【解析】

【分析】

依据题意，由杨辉三角可得，再由组合数的性质可求得答案

【详解】

由题意得，，

则，

故选：A

3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个宏大成就在杨辉三角中，若去除全部为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前46项和为（???????）

A．4080 B．2060 C．2048 D．2037

【答案】D

【解析】

【分析】

依据规律得出杨辉三角中每一行的和，每一行的数的个数，这样可确定题中数列前46项，正好包含杨辉三角中前11行，加上第12行的第2个数11，由此可得结论．

【详解】

杨辉三角的第n行的和为，故前n行的和为，

每一行的个数为1，2，3，…，可看成以1为首项，以1为公差的等差数列，则，

当时，，去除两端的1可得，

则此数列的前46项的和为：．

故选：D

4．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（???????）

A．2n B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

依据给定数阵，视察首尾两个数的特征，利用等差数列通项公式求解作答.

【详解】

依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9，…，它们成等差数列，通项为，

所以第n行的首尾两个数均为.

故选：B

5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个宏大成就.在“杨辉三角”中，第n行的全部数字之和为，若去除全部为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（???????）

A．2060 B．2038 C．4084 D．4108

【答案】C

【解析】

【分析】

将所求数列之和，转化为杨辉三角每一行对应数之和，再结合杨辉三角每一行的和为，即可求得结果.

【详解】

去除全部为1的项后，剩下的每一行的个数为，

对应个数构成一个首项为1公差为1的等差数列，

则前行数字个数之和为，当时，，

故该数列前56项和表示：杨辉三角中前12行数字之和，减去全部23个1，

再加上杨辉三角中第13行其次个数字12即可，

故所求数列的前项和为：.

故选：C.

6．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（???????）

A．21 B．22 C．23 D．24

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知，第n行的数就是二项式的绽开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果.

【详解】

由题意可知，第n行的数就是二项式的绽开式中各项的二项式系数.

因为只有第12项的二项式系数最大，

所以n为偶数，故，解得，

故选：B

7．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第n项，则的值为（???????）

A．1225 B．1275 C．1326 D．1362

【答案】B

【解析】

【分析】

视察前4项可得，从而可求得结果

【详解】

由题意可得，

……，

视察规律可得，

所以，

故选：B

8．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（???????）

A． B． C． D．