数学建模 空洞探测模型的建立及分析.doc

空洞探测模型的

建立及分析

【摘要】本问题是一个0--1规划问题，为空洞探测提供了求解方法及优化理论。通过用逐步细化单元格的方法,根据单元格为空洞的概率,建立了空洞分布模型，并进行了比较分析。

在整个过程中我们还运用了Matlab5.3和VisualC6.0软件。

【关键词】0--1规划,方差.

一、问题重述

山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。利用同样的机理可以确定平板内的空洞。一个简化问题可描述为，一块240（米）×240（米）的平板（如图），在AB边等距地设置7个波源Pi(i=1,…,7)，CD边对等地安放7个接收器Qj(j=1,…,7)，记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(秒);在AD边等距地设置7个波源Ri(i=1,…,7)，BC边对等地安放7个接收器Sj(j=1,…,7)，记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间

τij(秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒）。

确定该平板内空洞的位置。

根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(i,j=1,…,7)，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。

Q

Qj

A

B

C

D

Pi

Ri

Sj

Tij

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

P1

0.0611

0.0895

0.1996

0.2032

0.4181

0.4923

0.5646

P2

0.0989

0.0592

0.4413

0.4318

0.4770

0.5242

0.3805

P3

0.3052

0.4131

0.0598

0.4153

0.4156

0.3563

0.1919

P4

0.3221

0.4453

0.4040

0.0738

0.1789

0.0740

0.2122

P5

0.3490

0.4529

0.2263

0.1917

0.0839

0.1768

0.1810

P6

0.3807

0.3177

0.2364

0.3064

0.2217

0.0939

0.1031

P7

0.4311

0.3397

0.3566

0.1954

0.0760

0.0688

0.1042

τij

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

R1

0.0645

0.0602

0.0813

0.3516

0.3867

0.4314

0.5721

R2

0.0753

0.0700

0.2852

0.4341

0.3491

0.4800

0.4980

R3

0.3456

0.3205

0.0974

0.4093

0.4240

0.4540

0.3112

R4

0.3655

0.3289

0.4247

0.1007

0.3249

0.2134

0.1017

R5

0.3165

0.2409

0.3214

0.3256

0.0904

0.1874

0.2130

R6

0.2749

0.3891

0.5895

0.3016

0.2058

0.0841

0.0706

R7

0.4434

0.4919

0.3904

0.0786

0.0709

0.0914

0.0583

二、问题的假设：

1、弹性波在传播过程中互不干扰，不发生干涉。

2、弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。

３、空气密度和介质密度都均匀。

4、假定在减少波源和接受源之后其他波源和接受源的位置不变。

三、变量的说明：

1、设AB边等距的设置波源的顺序为：从A到B分别为P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7。

2、设AD边等距的设置波源的顺序为：从A到D分别是R1，R2，R3，R4，R5，R6，R7。

3、PiＱj(i,j=1,…,7)方向的波线所走路径中介质的长度以矩阵Ｘ1（7×7）表示，空气的长度以矩阵Ｙ1（7×7）表示。ＲiＳj(i,j=1,…,7)方向的波线所走路径中介质的长度以矩阵Ｘ２（7×7），空气的长度以矩阵Ｙ２（7×7）表示。

4、将平板分成许多单元格，以G（m，n）（1≤m，n≤30，

0≤G（m，n）≤1）表示。其中，m、n表示小格在平板中的位置，

G（m，n）的值表示该小格是空洞的概率。

四、问题分析

1、因为介质的传播速度大于空气的传播速度，所以弹性波从点i到点j传播的最短时间为：点i到点j的最短距离除以波在介质中的传播速度Tmin=240/2880=0.0833。在所给数据中，部分数据小于对应波线传播时间的最小值。认为这是由于在测量传播时间时，存在测量误差造成。这部分数据可以忽略，按理想的最短时间计算。也可由此确定误差限，时间的误差限为0.0833减去这部分数据中最小的0.