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学必求其心得,业必贵于专精
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第4讲绝对值不等式
必威体育精装版考纲1。理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R);2。会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.
知识梳理
1。绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|〈a与|x|〉a的解集
不等式
a0
a=0
a〈0
|x|a
(-a,a)
?
?
|x|a
(-∞,-a)∪(a,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
R
(2)|ax+b|≤c(c0)和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c;
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a,b是实数,则|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立。
(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√或“×”)
(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0。()
(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为?.()
(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立。()
(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()
(5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()
答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√
2.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为()
A.5或8 B.-1或5
C.-1或-4 D.-4或8
解析分类讨论:
当a≤2时,f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-3x-1-a,x〈-1,,-x+1-a,-1≤x≤-\f(a,2),,3x+1+a,x〉-\f(a,2),))
显然,x=-eq\f(a,2)时,f(x)min=eq\f(a,2)+1-a=3,∴a=-4,
当a2时,f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-3x-1-a,x〈-\f(a,2),,x-1+a,-\f(a,2)≤x≤-1,,3x+1+a,x-1,))
显然x=-eq\f(a,2)时,f(x)min=-eq\f(a,2)-1+a=3,∴a=8。
答案D
3.(2015·山东卷改编)不等式|x-1|-|x-5|〈2的解集为________.
解析①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)〈2,
∴-4〈2,不等式恒成立,∴x≤1.
②当1〈x5时,原不等式可化为x-1-(5-x)2,
∴x4,∴1〈x4,
③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)〈2,该不等式不成立.
综上,原不等式的解集为(-∞,4).
答案(-∞,4)
4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=________。
解析∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.
答案2
5。(2017·杭州调研)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0.
(1)当a=1时,则不等式f(x)≥3x+2的解集为________。
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},则a的值为________.
解析(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2。
由此可得x≥3或x≤-1。
故当a=1时,不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
此不等式化为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a,,x-a+3x≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xa,,a-x+3x≤0,))
即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a,,x≤\f(a,4)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xa,,x≤-\f(a,2).))
因为a0,所以不等式组的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤-\f(a,2)
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