数学（浙江专用）总复习教师用书：第六章 不等式 第讲 绝对值不等式 .docxVIP

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第4讲绝对值不等式

必威体育精装版考纲1。理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a＋b|≤|a|＋|b｜(a,b∈R)；|a－b|≤|a－c｜＋|c－b|(a，b∈R）；2。会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b｜≤c；|ax＋b｜≥c；｜x－c｜＋｜x－b|≥a.

知识梳理

1。绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x｜〈a与|x|〉a的解集

不等式

a0

a＝0

a〈0

|x|a

(－a,a)

?

?

|x|a

（－∞，－a)∪（a，＋∞）

(－∞，0）∪（0，＋∞)

R

（2)｜ax＋b｜≤c（c0)和｜ax＋b｜≥c（c0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c;

②｜ax＋b｜≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c；

（3）｜x－a｜＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a｜＋｜x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;

③通过构造函数，利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

（1）如果a，b是实数，则｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a｜＋|b|，当且仅当ab≥0时,等号成立。

（2）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤|a－b｜＋|b－c|，当且仅当(a－b）(b－c)≥0时，等号成立。

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√或“×”）

(1)若｜x|＞c的解集为R，则c≤0。（)

(2）不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.（）

(3）对|a＋b|≥|a｜－｜b｜当且仅当a＞b＞0时等号成立。（）

(4)对｜a|－｜b｜≤｜a－b|当且仅当|a|≥|b｜时等号成立.（）

(5）对|a－b|≤｜a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.（）

答案（1）×（2）√（3)×（4）×（5)√

2.若函数f（x)＝｜x＋1|＋｜2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（)

A.5或8 B.－1或5

C.－1或－4 D.－4或8

解析分类讨论：

当a≤2时,f（x)＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(－3x－1－a，x〈－1，,－x＋1－a,－1≤x≤－\f(a，2），,3x＋1＋a，x〉－\f(a，2），))

显然，x＝－eq\f(a,2）时，f（x)min＝eq\f(a，2)＋1－a＝3，∴a＝－4，

当a2时，f(x)＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(－3x－1－a，x〈－\f（a，2）,,x－1＋a,－\f（a,2）≤x≤－1，,3x＋1＋a，x－1，））

显然x＝－eq\f(a，2)时，f(x）min＝－eq\f（a,2)－1＋a＝3,∴a＝8。

答案D

3.（2015·山东卷改编)不等式|x－1|－|x－5|〈2的解集为________.

解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)〈2，

∴－4〈2，不等式恒成立，∴x≤1.

②当1〈x5时，原不等式可化为x－1－(5－x）2，

∴x4，∴1〈x4，

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5）〈2，该不等式不成立.

综上，原不等式的解集为（－∞,4）.

答案(－∞，4）

4.若不等式|kx－4|≤2的解集为｛x｜1≤x≤3}，则实数k＝________。

解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

答案2

5。（2017·杭州调研)设函数f(x)＝｜x－a|＋3x，其中a0.

(1）当a＝1时，则不等式f(x)≥3x＋2的解集为________。

(2）若不等式f(x)≤0的解集为｛x|x≤－1｝，则a的值为________.

解析(1）当a＝1时，f(x）≥3x＋2可化为｜x－1|≥2。

由此可得x≥3或x≤－1。

故当a＝1时，不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x｜x≥3或x≤－1}.

（2）由f（x)≤0得|x－a｜＋3x≤0.

此不等式化为不等式组eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x≥a，,x－a＋3x≤0))或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(xa，,a－x＋3x≤0，)）

即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x≥a，,x≤\f(a，4）））或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(xa，,x≤－\f(a，2）.））

因为a0,所以不等式组的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x|x≤－\f（a,2）