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第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
必威体育精装版考纲1。理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,eq\f(sinα,cosα)=tanα;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识梳理
1。同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1。
(2)商数关系:eq\f(sinα,cosα)=tan__α。
2。三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
eq\f(π,2)-α
eq\f(π,2)+α
正弦
sinα
-sin__α
-sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cosα
-cos__α
cos__α
-cos__α
sin__α
-sin__α
正切
tanα
tan__α
-tan__α
-tan__α
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,
符号看象限
诊断自测
1。判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角。()
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限,其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.()
(4)若sin(kπ-α)=eq\f(1,3)(k∈Z),则sinα=eq\f(1,3).()
解析(1)对于α∈R,sin(π+α)=-sinα都成立.
(4)当k为奇数时,sinα=eq\f(1,3),
当k为偶数时,sinα=-eq\f(1,3)。
答案(1)×(2)√(3)√(4)×
2.(2017·泰安模拟)sin600°的值为()
A.-eq\f(1,2) B。-eq\f(\r(3),2) C。eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)
解析sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-eq\f(\r(3),2).
答案B
3。已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)+α))=eq\f(1,5),那么cosα=()
A.-eq\f(2,5) B.-eq\f(1,5) C.eq\f(1,5) D。eq\f(2,5)
解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)+α))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))=cosα,∴cosα=eq\f(1,5).故选C.
答案C
4.已知sinθ+cosθ=eq\f(4,3),θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),则sinθ-cosθ的值为()
A。eq\f(\r(2),3) B。-eq\f(\r(2),3) C.eq\f(1,3) D.-eq\f(1,3)
解析∵sinθ+cosθ=eq\f(4,3),∴sinθcosθ=eq\f(7,18).
又∵(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=eq\f(2,9),
∴sinθ-cosθ=eq\f(\r(2),3)或-eq\f(\r(2),3).
又∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),∴sinθ-cosθ=-eq\f(\r(2),3).
答案B
5。(必修4P22B3改编)已知tanα=2,则eq\f(sinα+cosα,sinα-cosα)的值为________.
解析原式=eq\f(tanα+1,tanα-1)=eq\f(2+1,2-1)=3。
答案3
6。(2017·丽水调研)设a为常数,且a〉1,0≤x≤2π,则当x=________时,函数f(x)=cos2x+2asinx-1的最大值为________。
解析f(x)=cos2x+2asinx-1=1-sin2x+2asinx-1=-(sinx-a)2+a2,因为0≤x≤2π,所以-1≤sinx≤1,又因为a1,所以f(x)max=-(1-a)2+a2=2a-1。
答案eq\f(π,2)2a-1
考点一同角三角函数基本关系式的应用
【例1】(1)(2015·福建卷
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