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2023全国数学联赛山东省预赛试题
一、填空题(每小题8分,共80分)
1x+2
1、已知A={x\一3、t3,xeZ},3={x|0,xeN},则集合C={m\m=xy,xeA.yeB}的元素
81x-3
个数是.
2、已知:1~4sma=^3(^e(0,-)),则a是______.
tana2
3、已知关于x的方程、3+亦+笊+*0的三个非零实数根成等比数列,则a3c-b3的值是.
4、正方体4BCD-BCD]的底面AXBXCXDX内有一个动点且枷7/平ffi^C,则tanZD】松的最大
值是.
9
5、数列{%}中,。1=1,。〃+1=1(〃=12…),那么・
an
—rz._a/%2+y2+a/y2+4z2+』+16x2A曰,士曰
6、已知x.y,z,则/=———*的最小值是________.
9x+3y+5z
7、设AZ8C的内心为/,而且满足2石+5函+6元=6,贝0cosZ5的值是.
8、已知双曲线H:工2_尸=1上第一象限内一点,M的作H的切线/,与双曲线H切于交H
的渐近线于尸,。两点(户在第一象限),R与。在同一渐近线上.^RPRQ的最小值为.
9、小张参加一次十道选择题的测试,做对一道得一分,做错一道扣一分,不做得零分.他的目标是至
少得7分,7分及格.小张现在确定他前六道题的答案是正确的,而剩下的每道题做对的概率为1,小
2
张应该做多少道题,及格的概率最大.
10、设实数xj使得x-j,x2-j2,x3-?均为素数,贝y的值是.
二、解答题(共70分)
11、(本题15分)
已知:。是AABC的外心,。,分别是边AC.AB±的点.线段DEHQCE的中点分别为
PQR.OHJLDE垂足为H.求证:P,Q,R,H四点共圆.
12、(本题15分)
在区间(2/23〃)中任取22心+1个奇数.求证:在所取出的数中,必有两个数,其中一个数的平方不能
被另一个数整除.
13、(本题20分)
已知:a,b,c为正实数.证明:(/+2)(屏+2)(c2+2)9(ab+bc+cd).
14、(本题20分)
10x10的表格上填入1到100,第,行第顶列填入10(z-l)+j.每次操作如下:取一个格子,或者将此格
数字减少2,将两个相对的邻格同时加1;或者将此格数字增加2,将两个相对的邻格同时减1.
证明:如果经一些步骤后表格中又得到1到100的数字,则它们是按原来的顺序排列的.
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