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学必求其心得,业必贵于专精
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第3讲三角函数的图象与性质
必威体育精装版考纲1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2。理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2)))内的单调性。
知识梳理
1。用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),1)),(π,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),-1)),(2π,0).
(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0)),(π,-1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),0)),(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R,且x≠))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,2)))
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(π,2),2kπ+\f(π,2)))
[2kπ-π,2kπ]
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,2),kπ+\f(π,2)))
递减区间
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,2),2kπ+\f(3π,2)))
[2kπ,2kπ+π]
无
对称中心
(kπ,0)
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,2),0))
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))
对称轴方程
x=kπ+eq\f(π,2)
x=kπ
无
诊断自测
1。判断正误(在括号内打“√”或“×)
(1)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+\f(2π,3)))=sineq\f(π,6)知,eq\f(2π,3)是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期。()
(2)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.()
(3)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()
(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1。()
(5)y=sin|x|是偶函数。()
解析(1)函数y=sinx的周期是2kπ(k∈Z).
(2)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(3)正切函数y=tanx在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,2),kπ+\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数。
(4)当k〉0时,ymax=k+1;当k0时,ymax=-k+1.
答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√
2。(2015·四川卷)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()
A。y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2))) B。y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))
C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx
解析y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))=cos2x是最小正周期为π的偶函数;y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))=-sin2x是最小正周期为π的奇函数;y=sin2x+cos2x=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))是最小正周期为π的非奇非偶函数;y=sinx+cosx=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))
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