数学（浙江专用）总复习教师用书：第四章 三角函数、解三角形 第讲 三角函数的图象与性质 .docxVIP

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第3讲三角函数的图象与性质

必威体育精装版考纲1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性；2。理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π，2），\f（π,2)））内的单调性。

知识梳理

1。用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，1）），（π，0），eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3π,2），－1）)，（2π，0).

（2）余弦函数y＝cosx,x∈［0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,1)，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，0）），(π，－1）,eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2），0)），（2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

｛xeq\b\lc\｜（\a\vs4\al\co1(x∈R,且x≠))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（kπ＋\f（π，2)))

值域

［－1，1]

［－1，1］

R

周期性

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π，2），2kπ＋\f（π，2)))

［2kπ－π，2kπ］

eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2），kπ＋\f（π，2)）)

递减区间

eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π，2)，2kπ＋\f（3π,2）)）

[2kπ，2kπ＋π]

无

对称中心

(kπ，0）

eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0)）

eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(kπ，2)，0）)

对称轴方程

x＝kπ＋eq\f(π，2）

x＝kπ

无

诊断自测

1。判断正误(在括号内打“√”或“×）

（1)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，6）＋\f（2π,3))）＝sineq\f（π，6）知，eq\f(2π，3)是正弦函数y＝sinx(x∈R）的一个周期。()

（2)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.（）

（3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()

(4）已知y＝ksinx＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。(）

（5）y＝sin｜x｜是偶函数。（)

解析（1）函数y＝sinx的周期是2kπ(k∈Z).

（2)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.

（3）正切函数y＝tanx在每一个区间eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π,2)，kπ＋\f（π，2）))(k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数。

(4)当k〉0时，ymax＝k＋1；当k0时，ymax＝－k＋1.

答案(1）×(2）×(3）×(4)×(5)√

2。（2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(）

A。y＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，2）)) B。y＝coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,2))）

C.y＝sin2x＋cos2x D.y＝sinx＋cosx

解析y＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,2）))＝cos2x是最小正周期为π的偶函数；y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，2)))＝－sin2x是最小正周期为π的奇函数;y＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,4))）是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sinx＋cosx＝eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4））)