数学（浙江专用）总复习教师用书：第章 第讲　导数与函数的极值、最值 .docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

第3讲导数与函数的极值、最值

必威体育精装版考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).

知识梳理

1.函数的极值与导数

(1）判断f（x0)是极值的方法

一般地，当函数f（x)在点x0处连续且f′(x0）＝0,

①如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′（x)≤0，右侧f′(x）≥0,那么f(x0）是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′（x）＝0的根；

③检查f′（x)在方程f′(x）＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x）在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值。

2.函数的最值与导数

（1)函数f（x）在［a，b］上有最值的条件

如果在区间［a，b］上函数y＝f（x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

(2）设函数f（x）在［a,b]上连续且在（a，b)内可导，求f(x）在［a，b]上的最大值和最小值的步骤如下:

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f（a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

诊断自测

1。判断正误(在括号内打“√”或“×）

（1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的。（)

(2）函数的极大值不一定比极小值大。（）

(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.()

（4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。()

解析(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.（3)x0为f(x）的极值点的充要条件是f′（x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.

答案（1)×（2)√（3）×(4)√

2.函数f（x)＝－x3＋3x＋1有（)

A。极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3

C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3

解析因为f（x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1,

于是，当x变化时，f′（x），f（x)的变化情况如下表：

x

（－∞，－1）

－1

（－1，1)

1

（1，＋∞）

f′(x）

－

0

＋

0

－

f（x）



极大值



极小值



所以f（x)的极小值为f(－1)＝－1,f（x）的极大值为f（1)＝3.

答案D

3。(选修2－2P32A4改编)如图是f（x)的导函数f′(x）的图象，则f(x)的极小值点的个数为（）

A。1 B.2 C。3

解析由题意知在x＝－1处f′（－1）＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.

答案A

4.(2017·武汉模拟）函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________.

解析y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝eq\f(2，3)。

∵f(－1）＝－4，f（0)＝0，feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3））)＝－eq\f（8，27),f（2)＝8,所以最大值为8.

答案8

5.函数f（x)＝lnx－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.

解析∵f′（x）＝eq\f(1，x)－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.

答案1

6。（2017·杭州调研）函数y＝x＋2cosx在区间eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2）))上的最大值为________；最小值为________.

解析∵y＝x＋2cosx，x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2））)，∴y′＝1－2sinx，x∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2））），令y′＝0,得x＝eq\f(π,6)，当x∈eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(π,6）)）时，y′〉0，当x∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（π，6),\f(π,2)））时，y′0,故x＝eq\f(π,6）时，∴y最大＝y极大＝eq\f（π,6)＋eq\r（3）,又x＝0时，y＝2；x＝eq\f(π，2)时,y＝eq\f(π,2)，∴y最小＝eq\f(π，2）.

答案eq\f（π,6）＋eq\r(3）eq\f（π,2)

考点一用导数解决