数学（浙江专用）总复习教师用书：第章 第讲　对数与对数函数 .docxVIP

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第6讲对数与对数函数

必威体育精装版考纲1.理解对数的概念,掌握对数的运算，会用换底公式;2.理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用。

知识梳理

1。对数的概念

如果ax＝N(a〉0,且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2。对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b（a0，且a≠1)。

(2)对数的运算法则

如果a〉0且a≠1，M0，N〉0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②logaeq\f(M，N）＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R）；

④logamMn＝eq\f（n,m)logaM（m，n∈R,且m≠0）.

(3)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝eq\f（logaN,logab）(a,b均大于零且不等于1);

②logab＝eq\f（1，logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad。

3。对数函数及其性质

（1）概念：函数y＝logax(a〉0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,＋∞)。

(2)对数函数的图象与性质

a〉1

0a〈1

图象

性质

定义域：（0,＋∞)

值域:R

当x＝1时，y＝0，即过定点（1，0)

当x〉1时，y0；

当0〈x〈1时，y0

当x1时,y0；

当0x1时，y0

在(0，＋∞）上是增函数

在(0,＋∞)上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax（a0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）

(1）log2x2＝2log2x。（）

(2）函数y＝log2(x＋1）是对数函数（）

（3）函数y＝lneq\f（1＋x,1－x)与y＝ln（1＋x）－ln（1－x)的定义域相同。(）

(4）当x1时，若logaxlogbx，则ab。(）

解析（1）log2x2＝2log2｜x｜，故（1)错。

（2）形如y＝logax（a＞0,且a≠1）为对数函数，故（2)错。

(4)当x＞1时,logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故（4)错。

答案(1)×（2）×(3）√（4）×

2.已知函数y＝loga(x＋c）(a，c为常数,其中a0,且a≠1）的图象如图,则下列结论成立的是（)

A.a〉1，c1

B.a〉1，0c〈1

C。0a〈1，c1

D。0〈a〈1，0c1

解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a〈1.又当x＝0时，y〉0，即logac0，所以0〈c〈1。

答案D

3.(必修1P73T3改编）已知a＝2－eq\f（1，3）,b＝log2eq\f（1，3),c＝logeq\f(1,2）eq\f（1,3)，则(）

A.a〉bcB。a〉c〉bC。cbaD。ca〉b

解析∵0a1，b0，c＝logeq\f（1,2)eq\f（1，3）＝log23〉1。

∴c〉ab。

答案D

4.(2017·湖州调研）已知a0且a≠1，若aeq\f（3,2)＝eq\f（27,8），则a＝________；logeq\f(3,2)a＝________.

解析∵a0且a≠1,∴由aeq\f（3,2)＝eq\f（27，8)得a＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(27，8)）)eq\s\up12（\f（2，3)）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3,2)）)eq\s\up12(2)＝eq\f（9,4）；logeq\f(3，2）a＝logeq\f(3，2）eq\f（9，4）＝2。

答案eq\f(9,4）2

5。(2015·浙江卷）计算：log2eq\f（\r(2),2）＝________；2log23＋log43＝________。

解析log2eq\f(\r(2)，2）＝log2eq\r(2）－log22＝eq\f(1，2)－1＝－eq\f(1，2）；

2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2eq\r(3）＝3eq\r(3).

答案－eq\f（1，2）3eq\r（3)

6.若logaeq\f（3,4）1（a0,且a≠1），则实数a的取值范围是________.

解析当0a〈1时，logaeq\f(3，4）logaa＝1，解得0a〈eq\f(3，4)；当a1时，logaeq