第21章　第6课时　一元二次方程根的判别式 2024-2025学年人教版数学九年级上册.pptx

第二十一章一元二次方程第6课时一元二次方程根的判别式

课堂讲练

方程式根的判别式求根公式方程的根与Δ的关系ax2＋bx＋c＝0(a≠0)Δ＝_______________________①Δ＞0?方程有____________实数根；②Δ______0?方程有两个相等的实数根；③Δ＜0?方程______实数根．注：Δ≥0?方程有(两个)实数根b2－4ac两个不等的＝无

知识点1计算判别式(Δ)，判断方程根的情况例1不解方程，判断下列方程根的情况：方程a，b，c的值Δ的值根的情况x2＋3x＝1a＝_____，b＝_____，c＝_____________方程_____________实数根x(x＋5)＝x－4a＝_____，b＝_____，c＝__________方程_____________实数根x2－2x＋18＝0a＝____，b＝_____，c＝_____________方程______实数根13－113有两个不等的1440有两个相等的－218－12无

训练1．不解方程，判断方程2x2＝6x＋7的根的情况是 ()A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定训练2．方程2x2－4x＋2＝0的根的情况是___________________．C有两个相等的实数根

知识点2根据根的情况，求参数的值或取值范围例2关于x的一元二次方程mx2－4x＋3＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．解：a＝_____，b＝_______，c＝3．Δ＝b2－4ac＝(_______)2－4×_____×3＝___________．∵方程mx2－4x＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ______0，且_____≠0．解得_________且________．m－4－4m16－12m＞mm≠0注：在求参数的取值范围时，别忘了a≠0．

训练3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋1＝0(k为常数)没有实数根，求k的取值范围．解：a＝1，b＝－2，c＝k＋1．Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(k＋1)＝－4k．∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即－4k＜0．解得k＞0．

知识点3计算判别式(Δ)，证明方程根的情况例3已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0．求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根．证明：a＝1，b＝－(k＋1)，c＝2k－2．Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×1×(2k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0．∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根．

训练4．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0．求证：方程总有两个不相等的实数根．证明：a＝1，b＝2m，c＝m2－1．Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4(m2－1)＝4＞0．∴原方程总有两个不相等的实数根．

1．若关于x的一元二次方程x2－x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ()A．2 B．1C．－2 D．3C

2．(2022辽宁)下列一元二次方程无实数根的是 ()A．x2＋x－2＝0 B．x2－2x＝0C．x2＋x＋5＝0 D．x2－2x＋1＝03．(2022深圳)已知一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____．C9

4．【易错题】关于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；解：根据题意，得Δ＝42－4(k－1)＞0，且k－1≠0，解得k＜5且k≠1．

(2)若k为(1)中的最大整数，请求出此时该方程的根．解：由(1)可知k的最大整数值为4．当k＝4时，方程化为3x2＋4x＋1＝0．因式分解，得(3x＋1)(x＋1)＝0．

5．【代几综合】已知关于x的方程x2－kx＋k－1＝0．(1)求证：不论k为何值，方程总有实数根；证明：Δ＝k2－4×1×(k－1)＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0．∴不论k为何值，方程总有实数根．

(2)若等腰三角形的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求k的值．解：x2－kx＋k－1＝0．因式分解，得(x－k＋1)(x－1)＝0．解得x1＝k－1，x2＝1．由题意，得等腰三角形两边恰好是这个方程的两个实数根．①当2为腰时，k－1＝2．解得k＝3．②当1为腰时，此时1＋1＝2，不符合题意，舍去．综上所述，k的值为3．

随堂测

1．(2022北京)若关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ()C

2．(2022安顺)定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝(3＋2)(3－2)－1＝5－1