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数学模型电子教案重庆邮电大学计算机科学与技术学院沈世云

第八章对策与决策模型

第八章对策与决策模型对策与决策是人们生活和工作中经常会遇到的择优活动。人们在处理一个问题时，往往会面临几种情况，同时又存在几种可行方案可供选择，要求根据自己的行动目的选定一种方案，以期获得最佳的结果。有时，人们面临的问题具有竞争性质，如商业上的竞争、体育中的比赛和军事行动、政治派别的斗争等等。这时竞争双方或各方都要发挥自己的优势，使己方获得最好结果。因而双方或各方都要根据不同情况、不同对手做出自己的决择，此时的决策称为对策。在有些情况下，如果我们把可能出现的若干种情况也看作是竞争对手可采取的几种策略，那么也可以把决策问题当作对策问题来求解。

对策问§题8.的1特征对是策参问与题者为利益相互冲突的各方，其结局不取决于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的综合结果。先考察几个实际例子。例8.1（田忌赛马）田忌赛马是大多数人都熟知的故事，传说战国时期齐王欲与大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级的马各一匹进行比赛，每局赌金为一千金。齐王同等级的马均比田忌的马略胜一筹，似乎必胜无疑。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，让他用下等马比齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马，结果田忌二胜一败，反而赢了一千金。

例8.2（石头—剪子—布）是一个大多数人小候都玩的游。游双方只能石、剪子、布中的一种，石剪子，剪子布，而布又，者得一分，者失一分，双方相同不得分，下表。表8.1石剪子布－11石0剪子布1－101－10

从这些简单实例中可以看出对策现象中包含的几个基本要素一、对策的基本要素（1）局中人。参加决策的各方被称为决策问题的局中人，一个决策总是可以包含两名局中人（如棋类比赛、人与大自然作斗争等），也可以包含多于两名局中人（如大多数商业中的竞争、政治派别间的斗争）。局中人必须要拥用可供其选择并影响最终结局的策略，在例8.2中，局中人是田忌、齐王

（2）策略集合。局中人能采取的可行方案称为策略，每一局中人可采取的全部策略称为此局中人的策略集合。对策问题中，对应于每一局中人存在着一个策略集合，而每一策略集合中至少要有两个策略，否则该局中人可从此对策问题中删去，因为对他来讲，不存在选择策略的余地。应当注意的是，所谓策略是指在整个竞争过程中对付他方的完整方法，并非指竞争过程中某步所采取的具体局部办法。例如下棋中的某步只能看和一个完整策略的组成部分，而不能看成一个完整的策略。当然，有时可将它看成一个多阶段对策中的子对策。策略集合可以是有限集也可以是无限集。策略集为有限集时称为有限对策，否则称为无限对策。记局中人i的策略集合为Si。当对策问题各方都从各自的策略集合中选定了一个策略后，各方采取的策略全体可用一矢量S表示，称之为一个纯局势（简称局势）。

例如，若一策中包含A、B两名局中人，其策略集合分S={,…,}，S={,…,}。若A策略而BA1mB1ni策略，（,）就构成此策的一个局。然，SjijA与S一共可构成m×n个局，它构成表8.3。策B全体局构成的集合S称此策的局集合。B的策略12…J…nA1的(,)(,)…(,)(,)11121j1n2(,)(,)…(,)(,)21222j2n策略………i(,)(,)(,)(,)i1i2ijin……………m(,)(,)(,)(,)m1m2mjmn

（3）得函数（或称支付函数）。策的果用矢量表示，称之得函数。得函数F定在局集合S上的矢函数，于S中的每一局S，F（S）指出了每一局中人在此果下得（或支付）的。上所述，一个策模型由局中人、策略集合和得函数三部分成。局中人集合I={1,…,k}，每一i∈I，有一策略集合S，当I中每i一局中人i定策略后得一个局s；将s代入得函数F，即得一矢量F(s)=(F(s),…,F(s))，其中F(s)在局s下局中人i的得（或支付）。1ki本节讨论只有两名局中人的对策问题，即两人对策，其结果可以推广到一般的对策模型中去。对于只有两名局中人的对策问题，其局势集合和赢得函数均可用表格表示。例如，表8.2就给出了例8.2的局势集合和赢得函数。

二、零和对策存在一特殊的策。在策中，当局确定后，A之所得恰B之所失，或者A之所失恰B之所得，即双方所得之和零。在零和策中，因F(s)=－F(s)，只需指出其中一人的得即可，故得函数可用得矩表示。例如12若A有m种策略，B有n种策略，得矩表示若A选取策略i而B选取策略j，则A之所得为a（当a0时为支付）。ijij

表8.4局中人B213局中人A12(8,2)(4,6)(2,8)(6,