数学（浙江专用）总复习教师用书：第八章 立体几何与空间向量 第讲 立体几何中的向量方法（一）——证明平行与垂直 .docxVIP

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第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

必威体育精装版考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量;2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3。能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知识梳理

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.

（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.

2。空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1,l2的方向向量分别为n1，n2

l1∥l2

n1∥n2?n1＝λn2

l1⊥l2

n1⊥n2?n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l∥α

n⊥m?n·m＝0

l⊥α

n∥m?n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m

α∥β

n∥m?n＝λm

α⊥β

n⊥m?n·m＝0

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√或“×”)

（1)直线的方向向量是唯一确定的.(）

（2）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.（）

（3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合。（）

(4）若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行。()

答案（1）×(2）√（3)√(4)×

2。（选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝（2，3，5），n2＝（－3,1，－4），则(）

A.α∥β B.α⊥β

C。α,β相交但不垂直 D.以上均不对

解析∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3）＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0,∴α，β不平行,也不垂直.

答案C

3。已知A(1，0，0），B（0,1,0）,C（0,0，1），则下列向量是平面ABC法向量的是(）

A.（－1,1，1) B.(1,－1，1）

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3），－\f（\r（3），3），－\f(\r（3)，3)）） D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，3),\f（\r(3)，3）,－\f（\r（3），3)）)

解析设n＝(x，y,z）为平面ABC的法向量,

则eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（n·\o（AB，\s\up6(→）)＝0，,n·\o（AC,\s\up6(→））＝0，）)化简得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0,））∴x＝y＝z。

答案C

4.（2017·青岛月考)所图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.

解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设|AD|＝2，则A(2，0，0），M(0，0,1)，O（1，1,0），N（2，1,2），所以eq\o(AM，\s\up6(→））＝(－2,0，1)，eq\o(ON，\s\up6(→)）＝（1，0，2),因此eq\o(AM，\s\up6（→)）·eq\o(ON，\s\up6（→）)＝－2＋0＋2＝0，故AM⊥ON.

答案垂直

5。(2017·杭州调研)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，若a＝（1,1，2），则直线l与平面α的位置关系为________；

若a＝（－1，－1，1）,则直线l与平面α的位置关系为________.

解析当a＝(1，1，2)时，a＝eq\f（1，2）n，则l⊥α;

当a＝(－1，－1，1)时，a·n＝(－1,－1，1)·（2，2，4)＝0，则l∥α或l?α.

答案l⊥αl∥α或l?α

6.(2017·绍兴月考）设α，β为两个不同的平面，u＝（－2，2,5），v＝（1，－1,x)分别为平面α,β的法向量.

(1)若α⊥β，则x＝________；

（2)若α∥β,则x＝________。

解析(1)由α⊥β，得u·v＝0，即－2－2＋5x＝0，x＝eq\f（4，5）；

(2）由α∥β,得u∥v，即eq\f（－2,1)＝eq\f（2,－1）＝eq\f（5,x），x＝－eq\f(5，2).

答案(1)eq\f（4,5）（2)－eq\f(5，2)

考点一利用空间向量证明平行问题

【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2eq\r(2)，M是AD的中点，P是BM的中点