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第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
必威体育精装版考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量;2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;3。能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
知识梳理
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
2。空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2?n1=λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m=0
l⊥α
n∥m?n=λm
平面α,β的法向量分别为n,m
α∥β
n∥m?n=λm
α⊥β
n⊥m?n·m=0
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.()
(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.()
(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行或重合。()
(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行。()
答案(1)×(2)√(3)√(4)×
2。(选修2-1P104练习2改编)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则()
A.α∥β B.α⊥β
C。α,β相交但不垂直 D.以上均不对
解析∵n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,∴α,β不平行,也不垂直.
答案C
3。已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是()
A.(-1,1,1) B.(1,-1,1)
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3)))
解析设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,
则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))=0,,n·\o(AC,\s\up6(→))=0,))化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x+y=0,,-x+z=0,))∴x=y=z。
答案C
4.(2017·青岛月考)所图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.
解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设|AD|=2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),所以eq\o(AM,\s\up6(→))=(-2,0,1),eq\o(ON,\s\up6(→))=(1,0,2),因此eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=-2+0+2=0,故AM⊥ON.
答案垂直
5。(2017·杭州调研)设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线l与平面α的位置关系为________;
若a=(-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关系为________.
解析当a=(1,1,2)时,a=eq\f(1,2)n,则l⊥α;
当a=(-1,-1,1)时,a·n=(-1,-1,1)·(2,2,4)=0,则l∥α或l?α.
答案l⊥αl∥α或l?α
6.(2017·绍兴月考)设α,β为两个不同的平面,u=(-2,2,5),v=(1,-1,x)分别为平面α,β的法向量.
(1)若α⊥β,则x=________;
(2)若α∥β,则x=________。
解析(1)由α⊥β,得u·v=0,即-2-2+5x=0,x=eq\f(4,5);
(2)由α∥β,得u∥v,即eq\f(-2,1)=eq\f(2,-1)=eq\f(5,x),x=-eq\f(5,2).
答案(1)eq\f(4,5)(2)-eq\f(5,2)
考点一利用空间向量证明平行问题
【例1】如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2eq\r(2),M是AD的中点,P是BM的中点
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