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第7讲解三角形应用举例
必威体育精装版考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
知识梳理
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2。方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角。如B点的方位角为α(如图2).
3。方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等。
4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值。
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()
(2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.()
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))。()
(4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系。()
解析(2)α=β.(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
答案(1)√(2)×(3)×(4)√
2.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的()
A。北偏东15° B。北偏西15°
C.北偏东10° D.北偏西10°
解析如图所示,∠ACB=90°,
又AC=BC,
∴∠CBA=45°,而β=30°,
∴α=90°-45°-30°=15°。
∴点A在点B的北偏西15°.
答案B
3。如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1km,参考数据:eq\r(3)≈1。732)()
A.11。4km B。6。6km
C.6.5km D.5。6km
解析∵AB=1000×eq\f(1,60)=eq\f(50,3)(km),∴BC=eq\f(AB,sin45°)·sin30°=eq\f(50,3\r(2))(km)。
∴航线离山顶h=eq\f(50,3\r(2))×sin75°=eq\f(50,3\r(2))×sin(45°+30°)≈11。4(km).∴山高为18-11.4=6.6(km)。
答案B
4.(必修5P11例1改编)如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是m米,∠BAC=α,∠ACB=β,则A,B两点间的距离为()
A.eq\f(msinα,sinβ) B。eq\f(msinα,sin(α+β))
C。eq\f(msinβ,sin(α+β)) D。eq\f(msin(α+β),sinα+sinβ)
解析在△ABC中,∠ABC=π-(α+β),AC=m,
由正弦定理,得eq\f(AB,sinβ)=eq\f(AC,sin∠ABC),
所以AB=eq\f(msinβ,sin[π-(α+β)])=eq\f(msinβ,sin(α+β))。
答案C
5.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则下午2时两船之间的距离是______nmile.
解析设两船之间的距离为d,
则d2=502+302-2×50×30×cos120°=4900,
∴d=70,即两船相距70nmile.
答案70
6。(2017·湖州调研)一缉私艇发现在北偏东45°方向,距离12nmile的海上有一走私船正以10nmile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜,若缉私艇的速度为14nmile/h,缉私艇沿北偏东45°+α的方向追去,若要在最短的时间内追上走私船,则追上所需的时间为________h,α角的正弦值为________.
解析如图所示,A,C分别表示缉私艇、走私船的位置,设经x小时后在B处追上走私船.则AB=14x,BC=10x,∠ACB=120°,在△ABC中,由余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240·x·cos120°,解得x=2。故AB=28,sinα=eq\f(20sin120°,28)=eq\f(5\r(3),14),即所需时间为2小时,sinα=eq\f(5\r(3),14).
答案2eq\f(5\r(3
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