数学（浙江专用）总复习教师用书：第四章 三角函数、解三角形 第讲 解三角形应用举例 .docxVIP

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第7讲解三角形应用举例

必威体育精装版考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.

知识梳理

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角（如图1).

2。方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角。如B点的方位角为α（如图2）.

3。方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°，北偏西45°等。

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值。

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×）

（1)东北方向就是北偏东45°的方向.（)

(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(）

（3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2））)。(）

(4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系。(）

解析（2)α＝β.(3）俯角是视线与水平线所构成的角.

答案（1）√(2）×（3)×（4）√

2.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()

A。北偏东15° B。北偏西15°

C.北偏东10° D.北偏西10°

解析如图所示，∠ACB＝90°，

又AC＝BC，

∴∠CBA＝45°，而β＝30°，

∴α＝90°－45°－30°＝15°。

∴点A在点B的北偏西15°.

答案B

3。如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为（精确到0.1km，参考数据：eq\r（3)≈1。732)(）

A.11。4km B。6。6km

C.6.5km D.5。6km

解析∵AB＝1000×eq\f(1，60)＝eq\f(50,3）(km)，∴BC＝eq\f（AB,sin45°）·sin30°＝eq\f（50,3\r（2)）(km)。

∴航线离山顶h＝eq\f（50,3\r(2))×sin75°＝eq\f(50，3\r(2）)×sin(45°＋30°)≈11。4（km).∴山高为18－11.4＝6.6（km)。

答案B

4.（必修5P11例1改编）如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β,则A，B两点间的距离为(）

A.eq\f(msinα,sinβ) B。eq\f（msinα，sin（α＋β))

C。eq\f(msinβ，sin（α＋β)) D。eq\f(msin(α＋β),sinα＋sinβ）

解析在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，

由正弦定理，得eq\f(AB，sinβ)＝eq\f（AC，sin∠ABC)，

所以AB＝eq\f（msinβ，sin［π－(α＋β）])＝eq\f（msinβ,sin（α＋β）)。

答案C

5.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则下午2时两船之间的距离是______nmile.

解析设两船之间的距离为d,

则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，

∴d＝70，即两船相距70nmile.

答案70

6。(2017·湖州调研)一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海上有一走私船正以10nmile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜,若缉私艇的速度为14nmile/h，缉私艇沿北偏东45°＋α的方向追去,若要在最短的时间内追上走私船，则追上所需的时间为________h,α角的正弦值为________.

解析如图所示，A，C分别表示缉私艇、走私船的位置，设经x小时后在B处追上走私船.则AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°,在△ABC中,由余弦定理得（14x)2＝122＋（10x)2－240·x·cos120°,解得x＝2。故AB＝28，sinα＝eq\f（20sin120°，28）＝eq\f（5\r(3），14)，即所需时间为2小时，sinα＝eq\f（5\r（3），14).

答案2eq\f(5\r(3