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第2讲函数的单调性与最值
必威体育精装版考纲1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
知识梳理
1。函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1x2时,都有f(x1)〈f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1x2时,都有f(x1)〉f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间。
2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,则函数f(x)在区间D上是增函数.()
(2)函数y=eq\f(1,x)的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).()
(3)对于函数y=f(x),若f(1)f(3),则f(x)为增函数。()
(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接,取x1=-1,x2=1,则f(-1)<f(1),故应说成单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞)。
(3)应对任意的x1<x2,f(x1)<f(x2)成立才可以.
(4)若f(x)=x,f(x)在[1,+∞)上为增函数,但y=f(x)的单调递增区间可以是R。
答案(1)√(2)×(3)×(4)×
2。(2017·丽水调研)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是()
A。y=eq\f(1,x)-x B.y=x2-x
C.y=lnx-x D.y=ex-x
解析对于A,y1=eq\f(1,x)在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=eq\f(1,x)-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y′=ex-1,而当x∈(0,+∞)时,y′>0,所以函数y=ex-x在(0,+∞)上是增函数。
答案A
3。如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减函数,那么()
A.a=-2 B。a=2
C。a≤-2 D.a≥2
解析二次函数的对称轴方程为x=-eq\f(a-1,3),
由题意知-eq\f(a-1,3)≥1,即a≤-2。
答案C
4。函数f(x)=lgx2的单调递减区间是________.
解析f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=lgu在(0,+∞)上为增函数,u=x2在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,故f(x)在(-∞,0)上单调递减.
答案(-∞,0)
5.(2016·北京卷)函数f(x)=eq\f(x,x-1)(x≥2)的最大值为________。
解析易得f(x)=eq\f(x,x-1)=1+eq\f(1,x-1),
当x≥2时,x-1〉0,易知f(x)在[2,+∞)是减函数,
∴f(x)max=f(2)=1+eq\f(1,2-1)=2.
答案2
6。(2017·金华模拟)已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x-1,x≤1,,f(x-1),x1,))则f(f(2))=________,值域为________。
解析∵f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x-1,x≤1,,f(x-1),x〉1,))∴f(2)=f(2-1)=f(1)=3-1=2,f(f(2))=f(2)=2.
当x≤1时,f(x)=3x-1在(-∞,1]上递增,∴f(x)∈(-1,2];
当x〉1时,记x=[x]+(x-[x]),其中[x]为不大于x的最大整数,则x-[x]∈[0,1),由f(x-1)=f(x)得f(x)=f(x-[x])=3x-[x]-1∈[0,2),故f(x)的值域为(-1,2]∪[0,2)=(-1,2].
答案2(-1,2]
考点一确
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