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浙江省91高中联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．设为虚数单位，复数z满足，则复数的虚部是（????）

A． B． C． D．3

3．在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（????）

A． B． C． D．

4．在中，“”是“为等腰三角形”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力?开放的心态?丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（????）

A． B． C． D．

6．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（????）

A． B． C． D．

7．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，，且，则（????）

A． B． C． D．

8．若，则实数的值为（????）

A．3 B．2 C． D．1

二、多选题

9．若，则（????）

A． B．

C． D．

10．若是平面内两个不共线的向量，则下列选项中正确的是（????）

A．平面内存在向量不能表示为“”的形式

B．对于平面内的任意向量，有且仅有一个实数对，使得使

C．若共线的非零向量满足，则存在实数，使得

D．若实数满足，则

11．如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（????）

A．过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为

B．棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动

C．直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切）

D．该三棱台可以整体放入直径为的球内

三、填空题

12．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量坐标为．

13．如图，在正三棱柱中，，分别为的中点，则多面体体积为．

??

14．在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则.

四、解答题

15．已知向量.

(1)求；

(2)求与夹角的余弦值；

(3)若与共线，求实数的值.

16．已知函数.

(1)当时，求关于的方程的解；

(2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围.

17．在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足__________.

(1)求角；

(2)若，求面积的取值范围.

18．在中，，为边上的中线，点在边上，设．

(1)当时，求的值；

(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；

(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？

19．正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．

(1)正十二面体共有几条棱，几个顶点？

(2)如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；

(3)判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．

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参考答案：

1．B

【分析】求出集合A、B，再求交集即可.

【详解】，，

所以.

故选：B.

2．B

【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解.

【详解】因为，

所以，

所以复数的虚部为.

故选：B

3．C

【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解.

【详解】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，

得

.

故选：C.

4．A

【分析】根据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解.

【详解】为