人教版九年级上册数学《正多边形的有关计算》导学案.pdf

正多边形的相关计算

教课目的：

（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等相关的

计算问题转变为解直角三角形的问题；

（2）稳固学生解直角三角形的能力，培育学生正确快速的运算能力；

（3）经过正多边形相关计算公式的推导，激发学生探究和创新．

教课要点:

把正多边形的相关计算问题转变为解直角三角形的问题．

教课难点:

正确地将正多边形的相关计算问题转变为解直角三角形的问题解决、综合

运用几何知识正确计算．

教课活动设计:

（一）创建情境、察看、剖析、概括结论

1、情境一：给出图形．

问题1：正n边形内角的规律．

察看：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内

角都相等）得出新结论．

教师组织学生自主察看，学生回答．（正n边形的每个内角都等于

．）

2、情境二：给出图形．

问题2：每个图形的半径，分别将它们切割成什么样的三角形？它们有什

么规律？

教师指引学生察看，学生回答．

察看：三角形的形状，三角形的个数．

概括：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．

3、情境三：给出图形．

问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？

察看、概括：这些边心距又把这n个等腰三角形分红了个直角三角形，这

些直角三角形也是全等的．

（二）定理、理解、应用：

1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分红2n个全等的直角三

角形．

2、理解：定理的本质是把正多边形的问题向直角三角形转变．

因为这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的

边心距r，另一条直角边是正n边形边长a的一半，一个锐角是正n边

nn

形中心角的一半，即，因此，依据上边定理就能够把正相关计算n边形的

归纳为解直角三角形问题．

3、应用：

例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长

P6和面积S6．

教师指引学生剖析解题思路：

n=6=30°，又半径为Ra6、r6．P6、S6．

学生达成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力．

解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB．

∵∠GOB=

，

∴a=2·Rsin30°=R，

6

∴P=6·a=6R，

66

∵r=Rcos30°=，

6

∴．

概括：假如用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6=

Pr．

nn

4、研究：（应用例1的方法进一步研究）

问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及

面积．

学生以小组进行研究，并初步概括：

；；；；

；．

上述公式是运用解直角三角形的方法获得的．

经过上式六公式看出，只需给定两个条件，则正多边形就完整确立了．例

如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就能够

确立正多边形的其余元素．

（三）小节

知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题．

思想：转变思想．

能力：解直角三角形的能力、计算能力；察看、剖析、研究、概括能力．

（四）作业

概括正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的相关计算公式．