2023年8月12日TACA清华大学丘成桐领军计划零试试题解析 .pdf

2023年8月学科能力综合测试(TACA)

丘成桐数学零试试题及解析

题1.在如图所示的方格网中，每步只能从一个节点向右或向上走到相邻的节点，则从4

到Z的路径数为.

解析:54

如图所示，每个节点处的红色数字表示从A到该点的路径数.

1

题2.对一个复方阵，定义cos4=/+丈与岩逐巳记矩阵cos（―尚的第二行

n=lIn）y—107T67T）

第一列元素为X,则［园］=.

解析:20

令M=3兀），易知M的特征多项式为冷）=A（A-7T）,故其特征值为

y—IOtt6ttJ

0,7T.解出对应特征向量后，易知

于是

故所求案为20.

题3.I=limf2023cos4(nj;+n!)d,则[100/]=____________

n—(x)1一一

解析：758

I=limf2023cos4(nj;+n\)dx,则[100/]=

n—oo1

我们令In—fi°23cos4(n^+n!)do则

.2023/i+cos(2nj；+2-n!)\2f2023(\1nn12/nn

In=(-)=/(-+-cos(2nj;+2•n!)+-cos2(2hj;+2•n!)1drr

20221尸。23*1f20231+cos(4海+4•n!)|

=———-/cos(2nrr+2•n!)d+-/-dx

20221r202320221r2023

=P/d(sin(2n@+2•n!))P-―—/d(sin(4nrr+4•n!))

42n88•4n7X

显然J]2023d(sin(2n+2-n!))和J^2023d(sin(4n+4-n!))有界，故/=limIn=|2022,

故[I]=758.f

题4.设g(x)=J；佰罕沪出,记S=g(x)dx,则[100S]=

2

解析：106

s=fdrdt=广堕丑以/血=

JoJxtJotJOJO

注意到令ln=£sinntdt,则由熟知的结论，有蜘=导蜘—面22),所以

于是[1005]=106.

题5.nn矩阵的主对角元素为n,其余元素为1.已知多项式/(①)满足了(An)=O

对任意1WnW100均成立，则deg/的最小值为.

解析：149

nxn矩阵4的主对角元素为n,其余元素为1.已知复系数多项式仙)满足

/()=O对任意1wnW100均成立，则degj的最小值为.

记心为的首相系数为1的最小多项式，则显然对任意1WnW100,均有

E)I伯).接下来我们求43).

n=1时，显然fi(/)=x—1.

n2时，因为An为实对称矩阵，所以An可对角化.注意到rankAn-n-l)!=1,

所以71-1为4九的特征值，其特征子空间维数为71-1.又因为An全体特征值(计重

数)之和为traceAn)=n2,所以An