矩阵分析 课件 1.4 线性变换.pptx

定义1.11设与是任意两个非空集合，如果按某一规则，使对于每个，都有一个确定的元素与之对应，则称

为集合到的一个映射，记为。与的对应记为，称为在映射下的像，而称为

在映射下的一个原像。如果对任意，当时，有，则称是单射（或一对一的）；如果对任意

都有使得，则称是满射（或映上的）；如果既是单射又是满射，则称是双射（或一一对应的）。由集合S到S自身的映射称为S上的一个变换。;例21是全体整数的集合，是全体偶数的集合，定义

则是到的一个映射，它是一一对应的。;例23记是数域上的次数不超过n的多项式全体，设映射，对任意

是线性映射，即多项式求导运算是线性映射。;定义1.13线性空间到自身的线性映射称为的线性变换。即：是数域上的线性空间，是到自身的一个映射，如果对任意和，都有

则称是的一个线性变换。;例25设是数域上的线性空间,变换

即不难验证，是的一个线性变换，称此变换为倍数变换（或放大变换）。;例28在线性空间中，求证积分的变换

是一个线性变换。;性质(1);;(4)如果线性变换是一个单射（或一对一的），线性无关的元素组经过线性变换后，仍保持线性无关。;定义1.14设是数域上的n维线性空间，是

的一个基，是的线性变换，基的像

可以唯一地由基线性表示为

称矩阵

为在基下的矩阵。;例;定理1.7设线性空间的线性变换T在基下的矩阵为A，如果中元素在基下的坐标为

在基下的坐标为则;定理1.7设线性空间的线性变换T在基下的矩阵为A，如果中元素在基下的坐标为

在基下的坐标为则;例30在中线性变换T将基

变为求：

(1)T在基下的矩阵；

(2)向量及在基下的???标。;解;例31设的线性变换为

取的基则

T在此基下的矩阵为

如果取的基则有

T在基下的矩阵为

;定理1.8设和为线性空间的两个基，且由基到基的过渡矩阵为P，中的线性变换T在这两个基下的矩阵分别为A和B，则即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，且相似变换矩阵就是两个基之间的过渡矩阵。;例32在中,线性变换为微分运算D,求D在基

下的矩阵。;例32在中,线性变换为微分运算D,求D在基

下的矩阵。;例33设的线性变换T把基

变为基分别求T在两个基下的矩阵。;即T在基下的矩阵为P，又有

故T在基下的矩阵也是P。;例34给定的一个基

及线性变换其中