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素数
素数就是质数。它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如,15
=3*5,所以15不是素数;又如,12=6*2=4*3,所以12也不是素数。另一方面,13除了等于13*1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数。
有的数,如果单凭印象去捉摸,是无法确定它到底是不是素数的。有些数则可以马上说出它不是素数。一个数,不管它有多大,只要它的个位数是2、4、5、6、8或0,就不可能是素数。此外,一个数的各位数字之和要是可以被3整除的话,它也不可能是素数。但如果它的个位数是1、3、7或9,而且它的各位数字之和不能被3整除,那么,它就可能是素数(但也可能不是素数)。没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数。你只能试试看能不能将这
个数表示为两个比它小的数的乘积。
找素数的一种方法是从2开始用“是则留下,不是则去掉”的方法把所有的数列出来(一直列到你不想再往下列为止,比方说,一直列到10,000)。第一个数是2,它是一个素数,所以应当把它留下来,然后继续往下数,每隔一个数删去一个数,这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中,排在2后面的是3,这是第二个素数,因此应该把它留下,然后从它开始往后数,每隔两个
数删去一个,这样就能把所有能被3整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是5,然后往后每隔4个数删去一个,以除去所有能被5整除的数。再下一个数是7,往后每隔6个数删去一个;再下一个数是11,往后每隔10个数删一个;再下一个是13,往后每隔12个数删一个。……就这样依法做下去。
你也许会认为,照这样删下去,随着删去的数越来越多,最后将会出现这样的情况;某一个数后面的数会统统被删去崮此在某一个最大的素数后面,再也不会有素数了。但是实际上,这样的情况是不会出现的。不管你取的数是多大,百万也好,万万也好,总还会有没有被删去的、比它大的素数。
事实上,早在公元前300年,希腊数学家欧几里得就已证明过,不论你取的数是多大,肯定还会有比它大
的素数,假设你取出前6个素数,并把它们乘在一起:2*3*5*7*11*13=30030,然后再加上1,得
30031。这个数不能被2、3、5、7、11、13整除,因为除的结果,每次都会余1。如果30031除了自己以外不能被任何数整除,它就是素数。如果能被其它数整除,那么30031所分解成的几个数,一定都大于13。事实上,30031=59*509。
对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数,都可以这样做。如果算出了它们的乘积后再加上1,那么,所得的数或者是一个素数,或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积。不论所取的数有多大,总有比它大的素数,因此,素
数的数目是无限的。
随着数的增大,我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对,如5,7;11,13;17,19;29,31;41,43;等等。就数学家所能及的数来说,它们总是能找到这样的素数对。这样的素数对到底是不是有无限个呢?谁也不知道。数学家认为是无限的,但他们从来没能证明它。这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因。素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的问题,他们目前还没能对付这个挑战哩。
迄今为止,人类发现的最大的素数是224036583-1,这是第41个梅森(Mersenne)素数。
素数也叫质数,是只能被自己和1整除的数,例如2、3、5、7、11等。2500年前,希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的,并提出少量素数可写成“2的n次方减1”的形式,这里n也是一个素数。此后许多数学家曾对这种素数进行研究,17世纪的法国教士马丁·梅森(MartinMersenne)是其中成果较为卓著的一位,因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数。
第19~41个梅森素数
序号素数位数发现人时间
41224036583-17235733JohnFindley2004
40220996011-16320430MichaelShafer2003
39213466917-14053946MichaelCameron2001
3812098960Nayan,Woltman,Kurowski1999
371909526Clarkson,Woltman,Kurowski1998
361895932Spence,Woltman1997
351420921Arm
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