数理方程中典型方程和定解条件的推导课件.pptVIP

数学物理方法数学物理方程与特殊函数思路第一章一些典型方程和定解条件的推导CalculationsofSomeTypicalEquationswithDefiniteConditions

提要：一.均匀弦的横振动方程的建立二.传输线方程(电报方程)的建立三.电磁场方程的建立四.热传导方程的建立五.举例

数学物理方程的建立：从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、热、声、光、电等物理关联——数学表述，并对其整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。适用范围：这是从事科学研究的基本方法与路径。——“一语道破！”

第一章一些典型方程和定解条件的推导不含初始条件不含边界条件§1.1基本方程（泛定方程）的建立物理模型数学形式表述（建立偏微分方程并求解）（现象、过程）目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化简整理，得到偏微分方程。

一.均匀弦的横振动方程的建立平衡位置物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振动：虽然经典，但极具启发性。

1、建立坐标系选定微元2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）uT’MdsM隔离物体法TNN’Xoxx+dx

1、建立坐标系选定微元2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）(1)(2)uT’MdsMTNN’Xoxx+dx

导数马克思在《数学手稿》中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃”是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子Δy和分母Δx都被扬弃了，就是说，它们都消失为0，从而有限大小的Δx和Δy都被克服，差商但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。我们记扬弃了的（或消失了的）那末，导数就是

——从运动的观点看导数的定义“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。”导数——摘恩格斯.《自然辩证法》关于函数的某种形式的极限（实质）导数函数在某点上的变化率某点上切线的斜率（数学结构）（几何意义）

3、忽略与近似(1)(2)①对于小振动：所以有：T’dsTo

3、忽略与近似①对于小振动：(1)(2)于是（1）式变为：代入（2）式变为：②一般说来，，将g略去，上式变为

4、整理化简上式实际上可以明确表示为：令，于是有：一维波动方程

二.传输线方程(电报方程)的建立现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G表示。对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。＋L

物理状态描述:设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻R、电感L、电容C和电导G是按单位长度计算其对应的物理量，并且在x+dx范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为dx.●●

电路准备知识电容元件：电感元件：换路定理:在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。

与同学们商榷的几个问题：（P4-5）（1）设某时刻t，输入与输出端的对应关系是否合理?（2）电流作为初始条件，在流经电感时是否要变化？（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5.-1.5式）？“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即”是否合理？●－●

梁昆淼先生的做法：“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以R，L，C，G。于是亦即将亦即作用于第一式,作用于第二式,两结果相减,就消去了而得的方程同理,消去,得到的方程

参阅：丘关源主编《电路》P426-430，第十八章，均匀传输线。设某时刻t，对应关系如下：左端：；右端:输入端+＋－LLC–+-C输出端

由基尔霍夫电压定律:流入流出由基尔霍夫电流定律:电感上的电压：+＋－LLC–+-C电容上的电流：

由基尔霍夫电流定律:整理后得到：相对于函数的变化率，略去无穷小量dx,得+电感上的电压：电容上的电流：＋LLC–+-－C

由基尔霍夫电压定律:由基尔霍夫电流定律:(1.5)(1.4)

三.电磁场方程的建立基本电磁场量场的物质方程Maxwell方程电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度介质的介电