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专题12预备知识十二:函数的奇偶性
1、了解函数奇偶性的定义
2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3、会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
知识点一:函数的奇偶性
1、定义:
1.1偶函数:一般地,设函数fx的定义域为,如果,都有,且fxfx,那么函
IxIxI
数fx就叫做偶函数.
1.2奇函数:一般地,设函数fx的定义域为,如果,都有,且fxfx,那么
IxIxI
函数fx就叫做奇函数.
2、函数奇偶性的判断
2.1定义法:
(1)先求函数f(x)的定义域,判断定义域是否关于原点对称.I
f(x)f(x)f(x)f(x)
(2)求,根据与的关系,判断的奇偶性:
①若f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)是奇函数
②若f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)是偶函数
f(x)f(x)0f(x)f(x)
③若f(x)既是奇函数又是偶函数
f(x)f(x)0f(x)f(x)
f(x)f(x)
④若f(x)既不是奇函数也不是偶函数
f(x)f(x)
2.2图象法:
(1)先求函数f(x)的定义域,判断定义域是否关于原点对称.I
f(x)yf(x)
(2)若的图象关于轴对称是偶函数
(3)若f(x)的图象关于原点对称f(x)是奇函数
2.3性质法:
f(x)g(x)
,在它们的公共定义域上有下面的结论:
f(x)
f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
g(x)
偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数
偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数
奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数
奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数
知识点二:奇函数,偶函数的性质
1、奇函数,偶函数的图象特征
设函数fx的定义域为
I
fxfxy
(1)是偶函数的图象关于轴对称;
(2)fx是奇函数fx的图象关于原点对称;
(3)若fx是奇函数且,则f00
0I
2、函数的奇偶性与单调性的关系
(1)fx是偶函数fx在关于原点对称区间上具有相反的单调性;
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