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2024年西班牙数学奥林匹克
第一天
1.2024个不同的素数但22,-•,但2024满足条件:
但1+但2+•..+P1012—P1013+P1014+•••+P2024-
设人=P1P2-P1012,B—P1013P1014•.•刀2024•
求证:\A-B\4.
2.给定正整数n,实数Xi,rr2,•••,rrn1满足x-^x2•••xn=n+1.求证:
(11)+1)项
并说明等号何时成立.
3.设MBC为不等边三角形,P为三角形内部一点,满足Z-PBA=APCA.直线PB和ABAC
的内角平分线交于点Q,直线尸。和^BAC的外角平分线交于点点S满足CS||AQ.BS||AR.
求证:Q,K,S三点共线.
第二天
4.实数满足
771171171C
abed——1,。+———-\~d~\—-——0.
abed
求述:沥,qc,q』中至少一个等于—1.
5.给定平面上的两点P1=0131),〃2=(2,。2),用叫土队)表示边与坐标轴平行、且以P1和
P2为对角顶点的形,即
{(,g)£衫|min(o?i,x2}xmax(o?i,叼},min{gi,y2}ymax{gi,%}}.
若对所有的点集5cR2,且|S|=2024,都存在两点peeS,使得|5n^(P1,p2)|之们求L的
最大可能值.
6.设Q,b,n为正整数,满足%整除an-a+1,记a=?.求证:]2a_|,...—l)a_|除以
n的余数是1,2,...,n—1的一个排列.°
2024年西班牙数学奥林匹克试题解析
1考虑2024个两两不同的质数P\,外.2024使得
P\+Pl+・••+Pl012=Pl013+P1014+•・•+P2024
设刀=PlP2・P1012,g=加|014…P2024,求证:|力一3|Z4・
证明:首先注意到2仁{^}1/2024,若不然易证明等式两侧的奇偶性不同,矛盾!因此本题中的
Pi,P2,・P2024都是奇数,因此Pi=±l(mod4),z=1,2...2024.
设Z中有x个质数是mod4余1的,则有(1012—x)个数是余一1的;同理设6中有y个质
数是modp余1的,则有(1012-9个数是余一1的,于是我们有
X—(1012-%)=y-(1012—y)(mod4)
这意味着x三贝mod2),那么A三(一1)皿21三(_1)|。|2-,三5(mod4).
注意到A=0(mod/?),而B三0(mod)不成立,因此Xu3,进而|4一B|24,得证.
2设H是正整数,令X,,乂2••冬是大于1的实数,且它们的和为〃+1.求证:
并给出等号成立的条件.
证明:注意到
1(#+1)‘#J(叫_i)+x(%1)(人+1)2
1H=
k\xk-\)k2xkk2xk(xk-\)
=kr:-k—k+叫_(改_l)(k+1)2
k2xk(xk-l)
k2X^-k2Xk+Xk一*Jk+l)2+(+l)2
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