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算法的分类与8皇后问题

精确算法（全局最优）

穷举有哪些信誉好的足球投注网站、动态规划、回溯法、分支定界法等。

这类算法适合需要最优解但是问题规模比较小的情形。

随机算法

LasVegas算法、MonteCarlo算法等。对于各种问题，都能给出比较满意的解。

近似算法

具有多项式时间复杂度，不能求出最优解，但是可以估计近似解与最优解的误差。

启发式算法（局部最优）

贪心算法、局部有哪些信誉好的足球投注网站、遗传算法、模拟退火算法、神经网络算法、蚁群算法等。

适合规模很大又非常难处理，不一定需要最优解的问题。

具体采用什么样的算法来解决实际问题，完全取决于实际问题的需要以及设计者对算法的理解和创新的能力。

8皇后问题

在国际象棋的棋盘上放置8个皇后，使得它们互相不攻击。

经典的解法是回溯法，但效率较低，编程较困难。现采用随机算法，效率要提高一倍多，但算法有可能失败，成功的近似概率为0.13。

Step1算法描述

Step1

Step2置k=1,在第一行随机选择一个位置放置一个皇后,k++;

Step2

Step3计算k行所有可行的位置,即在这些位置放置一个皇后不会与前面已经放置的皇后相互攻击;

Step3

如果找不到可行的位置,则返回失败,程序结束;

否则从可行的位置中随机选择一个位置放置一个皇后,k++;

Step4如果k8,则返回成功并输出8皇后放置的结果,程序结束;否则转Step2;

Step4

Mathematica程序如下:

n=8;success=1;

k=1;x=Table[0,{n}];ok=Table[0,{n}];

x[[1]]=Random[Integer,{1,8}];k++;While[k=n,

count=0;

For[i=1,i?n,i++,x[[k]]=i;Placek=1;For[j=1,j?k-1,j++,If[Abs[k-j]?Abs[x[[j]]-x[[k]]]||x[[j]]?x[[k]],Placek=0];];

If[Placek?1,count++;ok[[count]]=i;];];

Print[ok=,ok,count];If[count?0,success=0;Break[];];i=ok[[Random[Integer,{1,count}]]];x[[k]]=i;k++;

Print[x=,x];

]

If[success?1,x,False]

思考: 本问题的数学模型?

数学模型

目标 X?{x,x

1 2

?x?x ,

? i j

,...x, }

8

i,j? 1,2,..i.?,j8,

约束 ?x

? i

?x ?i?j, i,j? 1,2,..i.?,j8,

j

??x

?

i

?{1,2,...,8i}?, 1,2,...,8

Lingo程序如下:

model:

sets:

S/1..8/:x;

SS(S,S);

endsets

@for(SS(i,j)|i#LT#j:@abs(x(i)-x(j))1);@for(SS(i,j)|i#LT#j:@abs(@abs(x(i)-x(j))-@abs(i-j))1);@for(S:@Bnd(1,x,8));

@for(S:@Gin(x));end

运行结果:

!Linearizationcomponentsadded:Constraints: 336

Variables: 336

Integers: 84

Feasiblesolutionfoundatiteration: 63327

Variable Value

X(

1) 2.000000

X(

2) 5.000000

X(

3) 7.000000

X(

4) 4.000000

X(

5) 1.000000

X(

6) 8.000000

X(

7) 6.000000

X(

8) 3.000000