高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)1.1空间向量及其运算(原卷版+解析).docxVIP

1.1空间向量及其运算

【知识点梳理】

知识点一：空间向量的有关概念

1．空间向量

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度或模：空间向量的大小．

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.

知识点诠释：

（1）空间中点的一个平移就是一个向量；

（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2．几类常见的空间向量

名称

方向

模

记法

零向量

任意

0

0

单位向量

任意

1

相反向量

相反

相等

a的相反向量：－a

eq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))

相等向量

相同

相等

a＝b

知识点二：空间向量的线性运算

(1)向量的加法、减法

空间向量的运算

加法

eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b

减法

eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b

加法运算律

①交换律：a＋b＝b＋a

②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(2)空间向量的数乘运算

①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

当λ0时，λa与向量a方向相同；

当λ0时，λa与向量a方向相反；

当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．

②运算律

结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

知识点诠释：

（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；

（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．

（3）空间向量加法的运算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

即：

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：；

知识点三：共线问题

共线向量

(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.

(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.

(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.

知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：

（1）存在唯一实数，使得；

（2）存在唯一实数，使得，则．

注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．

（3）共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；（进而证线面平行）

②证明三点共线。

注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。

知识点四：向量共面问题

共面向量

(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).

（4）共面向量定理的用途：

①证明四点共面

②线面平行（进而证面面平行）。

知识点五：空间向量数量积的运算

空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．