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行变换：【定理1】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，…,Pk，使:用初等变换求逆矩阵的方法:1)构造矩阵:(AE);2)做初等行变换解矩阵方程的方法:1、矩阵的初等变换：温故而知新A=P1P2…Pk.

(5)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．(其中A1为A的任一子阵)【性质】设A:型矩阵,则:2、矩阵的秩【定理2】若矩阵A与B等价,则R(A)=R(B).用初等变换求矩阵秩方法1）将A用初等变换化为行阶梯形矩阵；2）R(A)等于A的行阶梯形矩阵的非零行数。

补充：矩阵秩的其他性质

设A为n阶方阵,且3En+4A-4A2=O,则:R(En+2A)+R(3En-2A)=n【例】【证】由3En+4A-4A2=O得：(En+2A)(3En-2A)=O再由补充性质(4)得：综合两式结果得：证毕又由(En+2A)+(3En-2A)=4En及补充性质(2)得:

§3线性方程组的解线性方程组的理论是线性代数中的重要内容之一，它是解决很多实际问题的有力工具，在社会、经济、工程技术及许多科学技术领域中有广泛的应用。本章将讨论的方程组比第一章利用克拉默法则求解的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知量的个数不一定相等，即使相等，方程组的系数行列式也不一定非零。现假设一般的线性方程组为：(3.1)注意：m和n不一定相等！！！注意：m和n不一定相等！！！注意：m和n不一定相等！！！注意：m和n不一定相等！！！注意：m和n不一定相等！！！

令：线性方程组3.1的系数矩阵将线性方程组(3.1)表成矩阵形式：Ax=b(3.2)若记矩阵A的列向量为:则由分块矩阵的乘法,方程组(3.2)又可表成向量形式:(3.3)注：3.1、3.2、3.3式是同一线性方程组的不同表示形式！

线性方程组3.1的增广矩阵若b1=b2=…=bm=0,则称方程组3.1为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组.对上述方程组,主要讨论以下几个问题：方程组何时有解？在有解的情况下，解的结构如何?如何求解具体的线性方程组？

一个存在解的线性方程组称为是相容的，否则就是不相容或矛盾方程组。一、线性方程组有解的充要条件证明：只证条件中的充分性即可。因为(1)、(2)、(3)中条件的必要性依次是(2)(3)、(1)(3)、(1)(2)中条件的充分性的逆否命题。

得原方程的同解方程组：故原方程有唯一解。

得原方程的同解方程组：令自由未知数即得原方程含n-r个参数的解：由于n-r个参数可取任意值，故原方程有无穷多个解。

由于n-r个参数可取任意值，故原方程有无穷多个解。线性方程组(3.1)的通解

定理3的证明过程给出了求解非齐次线性方程组的步骤：

非齐次线性方程组(3.1)有解的充要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,即：【定理5】对于齐次线性方程组(3.4)由定理3易得以下基本结论：【定理4】设A是m×n矩阵,则:（1）齐次方程组(3.4)只有零解(未知量的个数).（2）齐次方程组(3.4)有非零解.(未知量个数)

有非零解的充要条件是它的系数矩阵行列式【推论】有n个未知数n个方程的齐次线性方程组问题:若齐次线性方程组只有零解,是否必有不一定有意义，更谈不上是否为零的问题。

例1判断下列方程组是否有解:（1）（2）（1）对增广矩阵施行初等行变换:由此知R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.（2）对增广矩阵施初等行变换:由于R（A）=R（B）=2，故原方程组有解.【解】

解：对增广矩阵施初等行变换:例2：对例1中的（2）求通解。由于R（A）=R（B）=24，故原方程组有无穷多解.继续将B化成行最简形：

对应同解方程组如下：

即得方程组的通解：

【解法2】由于系数矩阵是方阵,可用克拉默法则加以讨论.其系数矩阵行列式为当，方程组有唯一解。【解法1】可效仿P75例13解1步骤进行。（略）

当a=0时所以,R(A)=2,R(B)=3,方程组无解.当a=2时所以,R(A)=R(B)=23,方程组有无穷多解.

二、矩阵方程有解的充要条件【定理6】【推论】【定理7】

作业：P80、13(1,3),14(1,3),16,17,18下节内容：CH3习题课请大家做好复习！

习题1.判断下列齐次线性方程组解的结构（唯一零解、无穷多非零解）.（1