矩阵分析 课件 1.3 线性子空间.pptx

定义1.8设是数域上的线性空间，是的一个非空子集。如果对于中所定义的加法与数乘运算也构成数域上的线性空间，则称为的线性子空间，简称子空间。;定理1.2线性空间的非空子集是的子空间的充分必要

条件是：对于中定义的加法与数乘运算封闭，即;例16取线性空间的子集，

证明是的子空间，并求其维数。;定理1.3设是数域上的线性空间，在中任意取定m个元素，构造子集

则是的子空间，称为由元素组生成的子空间，记为;定理1.3设是数域上的线性空间，在中任意取定m个元素，构造子集

则是的子空间，称为由元素组生成的子空间，记为;结论2设和是线性空间V的两组元素，若可由线性表示，则。;例17设

求的基与维数。;例18在线性空间中，求由矩阵

生成的子空间的基与维数。;定理1.4（基的扩充定理）线性空间的m维子空间W

的任何一个基都可以扩充成V的一个基。;;;同样地，对任意，有

即构成的子空间。;;例19设与是数域上线性空间V的

两个元素组，则;例20设的两个子空间为;解;定理1.5（维数定理）设是数域上的线性空间，是

的两个子空间，则

;由上式第一个等号知，由第二个等号知，

于是，故可令;定理1.5（维数定理）设是数域上的线性空间，是

的两个子空间，则

;定理1.5（维数定理）设是数域上的线性空间，是

的两个子空间，则

;定义1.10设是线性空间的两个子空间，若，则称的和空间是直和，记为。;定理1.6设是线性空间的两个子空间，下列命题等价;假设它们线性相关，则内存在不全为零的数;定理1.6设是线性空间的两个子空间，下列命题等价;例三维线性空间的三个子空间：;交与和、直和等概念可以推广到多个子空间的情形。;??节小结;P27：10;11;13