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2.3正交变换与对称变换
1、正交变换
定义2.6如果欧氏空间V的线性变换T保持内积不变，即对
，都有
，则称T为正交变换。
例2.8平面旋转变换（平面围绕坐标原点按逆时针方向旋转
角）
就是欧氏空间
的一个正交变换。
这是因为，对
中任意向量
和
，有
所以T是正交变换。
任意
例2.9设A是n阶正交矩阵，
的线性变换
是正交变换。
这是因为，对任意
，有
定理2.5设T是n维欧氏空间V的线性变换，则下列命题等价：
（1）T是正交变换；
（2）T保持元素的长度不变，即对任意
，有
（3）T把V的标准正交基仍变为标准正交基；
（4）T在V的任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵。
证（1）
（2）
，有
（2）
（1）
，有
将上式两边展开，得
由于
代入上式得
即T是正交变换。
T是正交变换，对任意
T保持内积不变，则对任意
（1）
（3）
T是正交变换，设
标准正交基，则有
于是
是标准正交基。
（3）
（1）
如果
和
都是V的标准正交基，任取
，有
于是
即T是正交变换。
（3）
（4）
及
（4）
（3）
由定理2.4即得。
是V的
例2.10设T是欧氏空间
的线性变换，对任意
恒等变换
是一个正交变换。
事实上，
即
由定理2.5知T是一个正交变换。
2、对称变换
定义2.7设T是欧氏空间V的线性变换，如果对任意
都有
，则称T为对称变换。
定理2.6n维欧氏空间V的线性变换T是对称变换充分必要
证设
是V的标准正交基，且
其中
，则有
于是
条件是它在V的任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。
如果T是对称变换，则有
于是对任意
，有
从而A是实对称矩阵。反之，若A是实对称矩阵，则有
且
即T为对称变换。
推论设T是n维欧氏空间V的对称变换，则存在V的
证取V的标准正交基
，且设
其中A是实对称矩阵。由于存在正交矩阵Q，使得
其中
是对角矩阵，令
则由定理2.4知，
是V的标准正交基，且T在该基下的矩阵为
标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵。
例2.10设
是欧氏空间V中一个单位元素，
定义
证明：（1）T是线性变换；
（2）T是正交变换；
（3）T是对称变换。
证（1）对任意
，有
故T是线性变换。
对任意
（2）对任意
，有
故T是正交变换。
（3）对任意
，有
因此
故T是对称变换。
本节小结
01
02
正交变换
对称变换
P44：8;9
预习：2.4节
本节作业
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