矩阵分析 课件 3.1 不变因子、初等因子与行列式因子.pptx

第3章矩阵的Jordan标准形可以将对角矩阵看作是与可对角化矩阵相似的标准形。矩阵及其相关的一些性质。在线性代数中，讨论了矩阵相似于对角矩阵的条件，本章引入Jordan标准形的概念，得到不可对角化的但是，那些不可对角化的矩阵相似于什么样的标准形呢？矩阵相似于Jordan矩阵即Jordan标准形。首先讨论

3.1不变因子、初等因子与行列式因子1、不变因子与初等因子定义3.1若矩阵A的元素为的复系数多项式，矩阵，记作例如，一般的数字矩阵也可以视为矩阵。定义3.2以下三类变换称为矩阵的初等变换：（1）互换两行（列）；（2）某行（列）乘非零常复数k；（3）某行（列）乘多项式后加到另一行（列）。则该矩阵就称为

定义3.3如果矩阵经过有限次初等变换后可变成则称与等价，记为定理3.1若矩阵与等价，则，但反之不然。定义3.4秩为r的矩阵是首项系数为1（首一）的多项式，并且则称矩阵是一个Smith标准形。

定理3.2如果矩阵，并且那么矩阵一定与一个Smith标准形等价。定义3.5如果与Smith标准形等价，则称的对角线元素为的不变因子（或不变因式）。记的分解形式（其中互不相同，）中所有指数大于0的因子称为的初等因子。

定理3.3若矩阵证将的所有初等因子按不同的一次因子分类，此表中共有r列（每列中的因子个数可能不同，空白处可以用就是的第i个不变因子的不变因子确定，的初等因子被唯一确定；反过来，若的秩与所有的初等因子则不变因子也被唯一确定。则确定，并按各因子的幂从小到大排列：数1补上）。在第i列上的各式之积

例3.1将矩阵并求不变因子和初等因子。解即得的Smith标准形，初等因子化成Smith标准形，不变因子

定义3.6设2、行列式因子矩阵的秩为r，对任意必存在非零的k阶子式，称的全部非零k阶子式为的k阶行列式因子。定理3.4等价的矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。推论设是秩为r的阶矩阵，则的行列式因子其中是的不变因子。的首一最大公因式于是

定理3.5矩阵的Smith标准形是唯一的。证由定理3.4和推论可知，的不变因子由行列式因子唯一确定，因此，的Smith标准形唯一。例3.2将矩阵化为Smith标准形。的

解的各阶行列式因子为：的不变因子为：的Smith标准形为

定理3.6两个矩阵等价的充分必要条件为它们证由定理3.4推论，不变因子与行列式因子是相互确定的。必要性即为定理3.4的内容；再由定理3.5，若矩阵与有相同的不变因子，和同一个Smith标准形等价，所以与等价。定理3.7设矩阵为分块对角矩阵，与的初等因子的全体构成初等因子。具有相同的行列式因子，或具有相同的不变因子。则所以则的全体

例3.3求的初等因子和不变因子。解法一的不变因子为初等因子为：解法二因为对角线上各元素的初等因子就是的初等因子，不变因子为：的行列式因子是一个对角矩阵，根据定理3.7，即

本节小结0102不变因子与初等因子行列式因子P66：1;2;3预习：3.2节本节作业