预备知识02 集合间的基本关系（解析版）-2024-2025初升高衔接精品资料（新高一暑假学习提升）.pdf

专题02预备知识二：集合间的基本关系

1、理解集合之间的包含与相等的含义；

2、能识别给定集合的子集，了解空集含义

3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换

1、子集、空集与Venn图

1.1子集的定义：

一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有

ABAB

包含关系，称集合为集合的子集，记作AB（或BA），读作“包含于”（或“包含

ABABB

A”）。

1.2Venn图：

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Venn图。则上述集合和集合的

AB

包含关系，可以用如下Venn图表示：

要点说明：

①子集的定义可以理解为：若任意的xA，都有xB，则AB.这可以作为证明AB的方法；

②规定：空集是任何集合的子集；



③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；



④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；

⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是

ABBABA

．．

空集，也可能是集合．

B



⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”



只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．

2、集合的相等

如果集合是集合的子集（AB），且集合是集合的子集（BA），此时，集合与集合中

ABBAAB

的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作。

ABAB

要点说明：

ABBAABBA

①若且，则AB；反之，如果AB，则且。这就给出了我们证明两个

ABBA

集合全等的方法，即预证AB，只需证且都成立即可；

②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；

③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元

素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。

④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；

⑤集合中的关系与实数中的结论类比

实数集合

AÜB

ab包含两层含义：ab，或abAB包含两层含义：AB，或