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专题02预备知识二:集合间的基本关系
1、理解集合之间的包含与相等的含义;
2、能识别给定集合的子集,了解空集含义
3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换
1、子集、空集与Venn图
1.1子集的定义:
一般地,对于两个集合、,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,我们就说这两个集合有
ABAB
包含关系,称集合为集合的子集,记作AB(或BA),读作“包含于”(或“包含
ABABB
A”)。
1.2Venn图:
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图形称为Venn图。则上述集合和集合的
AB
包含关系,可以用如下Venn图表示:
要点说明:
①子集的定义可以理解为:若任意的xA,都有xB,则AB.这可以作为证明AB的方法;
②规定:空集是任何集合的子集;
③任何一个集合是它本身的子集,记作AA;
④包含关系具有传递性,即若AB,且BC,则AC;
⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的,因为集合可能是
ABBABA
..
空集,也可能是集合.
B
⑥注意符号“”与“”的区别:“”只用于集合与集合之间,如{0}N,而不能写成{0}N;“”
只能用于元素与集合之间,如0N,而不能写成0N.
2、集合的相等
如果集合是集合的子集(AB),且集合是集合的子集(BA),此时,集合与集合中
ABBAAB
的元素是一样的,因此,集合与集合相等,记作。
ABAB
要点说明:
ABBAABBA
①若且,则AB;反之,如果AB,则且。这就给出了我们证明两个
ABBA
集合全等的方法,即预证AB,只需证且都成立即可;
②两集合相等,则所含元素完全相同,与元素顺序无关;
③要判断两个集合是否相等,对于元素比较少的有限集,可用列举法将元素列举出来,看两个集合的元
素是否完全相同;若是无限集,应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。
④同一个集合,可以有不同的表示方法,这也是定义两个集合相等的意义所在;
⑤集合中的关系与实数中的结论类比
实数集合
AÜB
ab包含两层含义:ab,或abAB包含两层含义:AB,或
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